ミンコフスキー計量

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ミンコフスキー空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/26 02:00 UTC 版)

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ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。

構造

(m,n)-型のミンコフスキー空間 M^m,n は、まず計量を無視して単なるベクトル空間と考えるとm-次元ユークリッド空間と n-次元ユークリッド空間の直和 M^m,n = E^m⊕Eⁿ と定義されるものである。

（すなわち、集合としては直積集合 M^m,n = E^m×Eⁿ であり、V ∈ M^m,n に対して V_(m) ∈ E^m, V_(n) ∈ Eⁿ がただ一組存在して順序対として

V=(V_(m),V_(n))

と表され、加法とスカラー倍は、 a, b ∈ R に対して

aV+bW = (aV_(m)+bW_(m), aV_(n)+bW_(n))

であり、零ベクトル 0 ∈ M^m,n は、それぞれの零ベクトル 0_(m)∈E^m, 0_(n)∈Eⁿ の順序対

0=(0_(m),0_(n))

として定義されるようなものである。）

次元は dim M^m,n = m+n である。

ミンコフスキー計量

直積空間としての (m,n)-型のミンコフスキー空間 M^m,n = E^m×Eⁿ におけるミンコフスキー計量 η_(m,n) は、ユークリッド空間 E^m, Eⁿ におけるユークリッド計量を d_(m), d_(n) として

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{aligned}}}$

空間の次元のうち2成分のみ示したミンコフスキー空間の図

ミンコフスキー空間の元（4元ベクトル）はそのミンコフスキー内積の符号によって分類される。4元ベクトル V に関して、

• η_abV^aV^b = V^aV_a < 0であるとき V は 時間的 であるといわれる
• η_abV^aV^b = V^aV_a > 0 であるとき V は 空間的であるといわれる
• η_abV^aV^b = V^aV_a = 0 であるとき V は ヌル的 (光的) であるといわれる

これらの用語は物理学における相対性理論でミンコフスキー空間が使われることからきている。ミンコフスキー空間内のヌルベクトル全体の集合は光円錐を表している。これらの概念は指標系（標準基底の選択）によらずに定義されている。ヌルベクトルについては、二つのヌルベクトルが（ミンコフスキー内積に関して）直交しているならばそれらは平行である、という性質がある。

時間の向き（標準基底の e₀）が選ばれると、時間的ベクトルやヌルベクトルを様々なクラスに分けることができる。時間的ベクトルについては

1. 未来方向時間的: ベクトルは負の時間成分（V⁰）を持つ
2. 過去方向時間的: ベクトルは正の時間成分を持つ

と分類でき、ヌルベクトルについては:

1. ベクトル空間の零元としての零ベクトル:（成分が (0,0,0,0) となる）
2. 未来方向ヌル: ベクトルは負の時間成分をもつ
3. 過去方向ヌル: ベクトルは正の時間成分をもつ

と分類できる。空間的ベクトルとあわせて六つのクラスが考えられることになる。

ミンコフスキー空間の正規直交基底は必ず一つの時間的単位ベクトルと三つの空間的単位ベクトルからなっている。正規直交性を外した基底であればほかの組み合わせも可能になり、例えばすべてヌルベクトルからなるような（互いに直交していない）基底をとることができる。

局所平坦時空

厳密にいえば、特殊相対性理論によってミンコフスキー空間をひろがりのある系を記述するために用いることができるのは重力がほとんど無視できる場合のニュートン極限に限られる。重力が無視できない場合には時空は歪み、特殊相対性理論の代わりに一般相対性理論を考えることが必要になる。

しかしながら、等価原理によりそのような場合でも（重力の特異点を除く） 一点の周りの無限小の領域には局所慣性系を敷けることが保証されるので、ミンコフスキー空間でうまく記述できる。抽象的にいえば、重力がある場合には時空はゆがんだ四次元の多様体となり、各点での接空間がミンコフスキー空間となっている、と言い表すことができる。したがってミンコフスキー空間の構造は一般相対性理論においても本質的な役割を果たすことになる。

重力を弱めていった極限では時空は平坦になり、局所的にのみならず大域的にもミンコフスキー空間と見なせるようになる。このことからミンコフスキー空間はしばしば平坦な時空とよばれている。

歴史

ミンコフスキー空間の名前はヘルマン・ミンコフスキーにちなんだものである。ミンコフスキーは1907年ごろに、（アルベルト・アインシュタインによって発展させられていた）特殊相対性理論が時間の次元と空間の三つの次元を組み合わせた四次元の時空を用いることで簡素に説明されることを見いだした。

「空間と時間に関し私がここで展開したいと思っている視点は、実験物理学の土壌から芽生えたものであり、その力強さを内に持っている。この視点は革新的なものであり、これからは空間それ自身であるとか時間それ自身であるとかいったような概念は陰にすぎないところへと消え去っていくことになる。そしてこの両者を合わせたもののみが独立した実在としてあり続けることになる。」 — ヘルマン・ミンコフスキー、1908年

1890年代における双曲四元数の発展によりミンコフスキー空間への道が開かれることになった。実際のところ、数学的にはミンコフスキー空間とは双曲四元数の空間から乗法の情報を忘れて双線形形式

η(p, q) = −(pq* + (pq*)*)/2

（これは双曲四元数の積 pq* によって定まる）のみを残したものと考えることができる。

関連項目

ドイツ語版ウィキソースに本記事に関連した原文があります。

「空間と時間」

英語版ウィキソースに本記事に関連した原文があります。

「空間と時間」

• 計量テンソル
• 光速
• 時空
• 世界線
• 双曲空間
• ベルンハルト・リーマン
• ペンローズ図
• ユークリッド空間
• ローレンツ多様体

参考文献

• 物理学史研究刊行会 訳 編『相対論』東海大学出版会〈物理学古典論文叢書4〉、1969年。ISBN 978-4-486-00765-4。https://ndlonline.ndl.go.jp/#!/detail/R300000001-I000001120439-00。  - 「相対性原理」（H.Minkowski著、上川友好 訳）、「空間と時間」（H.Minkowski著、上川友好 訳）収録。
• ベルンハルト・リーマン、ヘルマン・ミンコウスキー『幾何学の基礎をなす仮説について』ヘルマン・ワイル 序文・解説、菅原正巳 訳、清水弘文堂書房、1970年6月10日。https://ndlonline.ndl.go.jp/#!/detail/R300000001-I000001120228-00。  - ミンコウスキー『空間と時間』を併録。
  • ベルンハルト・リーマン、ヘルマン・ミンコフスキー『幾何学の基礎をなす仮説について』ヘルマン・ワイル 序文・解説、菅原正巳 訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2013年11月6日。ISBN 978-4-480-09583-1。http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480095831/。  - ミンコフスキー『空間と時間』を併録。
• Catoni, Francesco; Cannata, Roberto; Catoni, Vincenzo; Nichelatti, Enrico; Zampetti, Paolo (2008), The Mathematics of Minkowski Space-Time: With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8613-9 
• Naber, Gregory L. (1992), The Geometry of Minkowski Spacetime (hardcover ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97848-8 
  • Naber, Gregory L. (1992), The Geometry of Minkowski Spacetime (paperback ed.), New York: Dover Publications, ISBN 0-486-43235-1 
• Walter, Scott (1999), “Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity”, in Goenner, Hubert et al. (ed.), The Expanding Worlds of General Relativity, Boston: Birkhäuser, pp. 45–86, ISBN 0-8176-4060-6, http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/einstd7.pdf 

外部リンク

• デジタル大辞泉『ミンコフスキーの時空』 - コトバンク
• アニメーション・クリップ - 特殊相対性理論の観点からミンコフスキー空間を視覚化したもの。

表 話 編 歴 相対性理論
特殊 相対論	背景 相対性原理 特殊相対性理論 基礎 相対運動 基準系 光速 マクスウェルの方程式 公式 ガリレイ相対性 ガリレイ変換 ローレンツ変換 結果 時間の遅れ 相対論的質量（英語版） E = mc2 長さの収縮 同時性の相対性（英語版） 相対論的ドップラー効果（英語版） トーマス歳差（英語版） 相対論的ディスク（英語版） 時空 ミンコフスキー時空 世界線 時空図 光円錐
一般 相対論	背景 一般相対論の数学 関連文献 基礎 特殊相対性理論 等価原理 世界線 リーマン幾何学 時空図 現象 二体問題（英語版） 重力レンズ 重力波 慣性系の引きずり 測地的効果（英語版） 事象の地平面 重力の特異点 ブラックホール 方程式 線形化重力（英語版） PPN形式 アインシュタイン方程式 測地線 フリードマン方程式 ADM形式（英語版） BSSN形式（英語版） ハミルトン＝ヤコビ＝アインシュタイン方程式（英語版） 発展 理論 カルツァ＝クライン理論 量子重力理論 ブランス＝ディッケ理論（英語版） 解（英語版） シュワルツシルト ノルドシュトロム ゲーデル カー カー・ニューマン カスナー（英語版） タアブ・NUT（英語版） ミルン（英語版） フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー pp-wave時空（英語版） ファン・ストックム・ダスト（英語版）
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ミンコフスキー計量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/05 14:25 UTC 版)

「ミンコフスキー空間」の記事における「ミンコフスキー計量」の解説

直積空間としての (m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n = Em×En におけるミンコフスキー計量 η(m,n) は、ユークリッド空間 Em, En におけるユークリッド計量を d(m), d(n) として η ( m , n ) ( V , W ) =   d ( m ) ( V ( m ) , W ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , W ( n ) ) で与えられる。また、V のノルムは V 2 = η ( m , n ) ( V , V ) = d ( m ) ( V ( m ) , V ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , V ( n ) ) = ( V ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 となる。特に V = (0(m), V(n)) ∈ M(m,n) と選ぶと V 2 = ( 0 ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 = − ( V ( n ) ) 2 となり、ユークリッド計量の正定値性から、このノルムは負となる。すなわち、ミンコフスキー計量は不定計量である。