世界線、光速との比較

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世界線、光速との比較

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)

「特殊相対性理論」の記事における「世界線、光速との比較」の解説

運動している質点がミンコフスキー空間内に描く軌跡を世界線と言う。今、世界線が原点を通る直線となる質点の運動があるとし、その直線の（4元）方向ベクトルを u→ とする（長さは問わない）。 この質点の運動を慣性座標系 e→0、e→1、e→2、e→3 にいる観測者 A が原点で眺めるとする。この慣性座標系における u→ の成分表示を (ct, x, y, z) とすると、3次元ベクトル (x/t, y/t, z/t) は A から見た質点の速度ベクトルであると解釈できる。 次に u→ の速度を光速と比較してみる。u→ の速度が光を下回る必要十分条件は、√x2 + y2 + z2 / t < c となることであるので、これを書き換えると、(ct)2 − x2 − y2 − z2 > 0 となる。ミンコフスキー計量の定義より、この式は η(u→, u→) > 0 と慣性座標系によらない形で表現できる。従って、η(u→, u→) > 0 であれば、どの慣性系から見ても光速度を下回り、逆に η(u→,u→) < 0 であれば どの慣性系から見ても光速度を上回る。 前述のように η(u→, u→) の正負によって、u→ を時間的もしくは空間的と呼ぶので、まとめると以下が結論づけられる： 方向ベクトル u→ が時間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を下回る 方向ベクトル u→ が空間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を上回る 方向ベクトル u→ が光的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速と等しい 最後のものは光速度不変の原理からの直接の帰結でもある。 なお、上の議論では、質点の世界線が直線である事を仮定したが、そうでない場合も原点での接線を u→ として同様の議論をする事で同じ結論が得られる。