ミンコフスキー観測者
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:05 UTC 版)
「リンドラー座標」の記事における「ミンコフスキー観測者」の解説
リンドラーチャート上に描いた代表的ミンコフスキー観測者（紺色の双曲正割曲線）。赤線はリンドラー地平面である。 別の基準系を導入してみよう。ミンコフスキーチャートにおける自然な選択は、以下のようなものである。 f → 0 = ∂ T , f → 1 = ∂ X , f → 2 = ∂ Y , f → 3 = ∂ Z {\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}} これらのベクトル場を上述の変換で変換すると、（リンドラーのくさびの範囲内で）リンドラーチャート上ではこの基準系は以下のようになることがわかる。 f → 0 = 1 x cosh ( t ) ∂ t − sinh ( t ) ∂ x f → 1 = − 1 x sinh ( t ) ∂ t + cosh ( t ) ∂ x f → 2 = ∂ y , f → 3 = ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}} 時間的単位ベクトル場 f → 0 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {f}}_{0}} により定義される時間的合同の力学的分解を計算すると、ここでも膨張と渦度は消失し、加えて加速度ベクトルも消失して ∇ f → 0 f → 0 = 0 {\displaystyle \scriptstyle \nabla _{{\vec {f}}_{0}}{\vec {f}}_{0}\;=\;0} となることがわかる。換言すれば、これは「測地合同」である。すなわち、観測者は「慣性運動」状態にある。元のデカルトチャートでは、これらミンコフスキー観測者は静止状態にある。 リンドラーチャートでは、ミンコフスキー観測者の世界線は座標面 x = 0 {\displaystyle \scriptstyle x\;=\;0} に漸近する双曲正割曲線として現われる。具体的には、リンドラー座標系では、世界点 t = t 0 , x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 {\displaystyle \scriptstyle t\;=\;t_{0},\;x\;=\;x_{0},\;y\;=\;y_{0},\;z\;=\;z_{0}} を通過するミンコフスキー観測者の世界線は以下の曲線となる。 t = arctanh ( s x 0 ) , − x 0 < s < x 0 x = x 0 2 − s 2 , − x 0 < s < x 0 y = y 0 z = z 0 {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {arctanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}} ここで、 s {\displaystyle \scriptstyle s} はこのミンコフスキー観測者の固有時間である。この観測者の履歴の一部しかリンドラーチャートには描かれないことに注意されたい。このことはリンドラーチャートが測地完全（英語版）ではないことを明示している。時間的測地線は有限の固有時間のうちにリンドラーチャートの範囲外に出てしまえるのである。もちろん、我々はリンドラーチャートは測地完全である元のデカルトチャートの一部分しか覆わないので、リンドラーチャートが測地完全ではありえないことは当然のことである。 上図には、 x 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x_{0}\;=\;1} の場合を、 s ∈ { − 1 2 , 0 , 1 2 } {\displaystyle \scriptstyle s\,\in \,\left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}} における（縮尺を併せかつ適切にブーストされた）光円錐と共に描いてある。
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