ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:22 UTC 版)
「ローレンツ変換」の記事における「ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換」の解説
また、パラメータ θ を用いて、 v c = tanh θ {\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \theta } とすると c t ′ = c t cosh θ − x sinh θ x ′ = x cosh θ − c t sinh θ {\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=ct\cosh {\theta }-x\sinh {\theta }\\x'&=x\cosh {\theta }-ct\sinh {\theta }\end{aligned}}} 虚時間 w = i ct を用いれば、 w ′ = w cos i θ − x sin i θ x ′ = x cos i θ + w sin i θ {\displaystyle {\begin{aligned}w'&=w\cos {i\theta }-x\sin {i\theta }\\x'&=x\cos {i\theta }+w\sin {i\theta }\end{aligned}}} 行列を用いれば、それぞれ [ c t ′ x ′ y ′ z ′ ] = [ cosh θ − sinh θ 0 0 − sinh θ cosh θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ c t x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh {\theta }&-\sinh {\theta }&0&0\\-\sinh {\theta }&\cosh {\theta }&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}} [ w ′ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos ( i θ ) − sin ( i θ ) 0 0 sin ( i θ ) cos ( i θ ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ w x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {(i\theta )}&-\sin {(i\theta )}&0&0\\\sin {(i\theta )}&\cos {(i\theta )}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}} と表すことができる。この表現を用いると、ローレンツ変換がミンコフスキー空間上での虚数角 iθ の回転に相当することが容易に理解できる。 この表式では速度の合成が容易になる。慣性系 S において、速度 u で x-軸方向に等速運動している物体は、慣性系 S′ における速度 u′ は、 u c = tanh ϕ {\displaystyle {\frac {u}{c}}=\tanh {\phi }} とすると、 u ′ c = tanh ( ϕ − θ ) {\displaystyle {\frac {u'}{c}}=\tanh {(\phi -\theta )}} で表される。 相対速度 v の方向が 慣性系 S の x-軸方向と一致する場合にのみ、上の方程式は適用される。v の方向が S の x-軸と一致しない場合には、ローレンツ変換の一般解を求めるよりも、v の方向が S の x-軸と一致するように慣性系の回転を行うほうが、一般に容易である。
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