電荷を帯びた粒子への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/03 19:29 UTC 版)
「一般相対性理論における測地線」の記事における「電荷を帯びた粒子への拡張」の解説
等価原理からの測地線方程式の導出仮定において、粒子は局所慣性座標系において加速していないという仮定が置かれていた。しかし、実世界においては、粒子は電荷を帯びているかもしれず、それゆえローレンツ力に従って局所的に加速しているかもしれない。つまり、次のように書ける。 d 2 X μ d s 2 = q m F μ β d X α d s η α β {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{\mathrm {d} X^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\eta _{\alpha \beta }}} ここで、次の条件を仮定する。 η α β d X α d s d X β d s = − 1 {\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{\mathrm {d} X^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} X^{\beta } \over \mathrm {d} s}=-1} ミンコフスキー計量テンソル η α β {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }} は次のように定義される。 η α β = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} これらの三つの方程式を、自由落下する粒子の局所加速度を零とすることの代わりに、一般相対性理論における運動方程式の導出の出発点として用いることができる。ミンコフスキー計量テンソルが関わっているので、一般相対性理論において計量テンソルと呼ばれるものを導入する必要がある。計量テンソル g は対称で、自由落下の際には局所的にはミンコフスキー計量テンソルに帰着する。結果として、運動方程式は次のようになる。 d 2 x μ d s 2 = − Γ μ α β d x α d s d x β d s + q m F μ β d x α d s g α β {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{g_{\alpha \beta }}} ここで、次の条件を課した。 g α β d x α d s d x β d s = − 1 {\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}=-1} この最後の方程式は粒子が時間的測地線に沿って運動していることを示している。質量のない光子のような粒子では、代わりにヌル測地線（右辺の −1 を 0 で置き換えたもの）に沿うことになる。後者を固有時について微分し、クリストッフェルの公式 Γ λ α β = 1 2 g λ τ ( ∂ g τ α ∂ x β + ∂ g τ β ∂ x α − ∂ g α β ∂ x τ ) {\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)} を用いることによりこれら二つの方程式が互いに矛盾していないことを示すことができるのは重要である。この方程式は電磁場を含んでいないので、電磁場が零になる極限でも適用可能である。上付き添字のついた g は、計量テンソルの逆を意味する。一般相対性理論では、テンソルの添字の上げ下げは、計量テンソルおよびその逆と縮約することにより行われる。
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