一般相対論の中での使用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 07:58 UTC 版)
「アインシュタインテンソル」の記事における「一般相対論の中での使用」の解説
アインシュタインテンソルは、（宇宙項のない）アインシュタイン方程式を次の正確な形に書き表すことを可能とする。 G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.} ここに幾何単位系で（つまり、c = G = 1 とする）、 G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }} である。 アインシュタインテンソルの明示的な形により、アインシュタインテンソルは、計量テンソルの非線型函数であるが、計量の 2階の偏微分では線型である。対称なランク 2 のテンソルとして、アインシュタインテンソルは 4次元空間内の10 個の独立成分を持つ。このことから、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルの 10 個変数の準線型（英語版）(quasilinear)の 2階の偏微分方程式である。 ビアンキ恒等式は、アインシュタインテンソルの助けで容易に次のようにも表現できる。 ∇ μ G μ ν = 0. {\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.} ビアンキ恒等式は、自動的に曲がった時空の中のストレス・エネルギーテンソルの共変に保存することを保証する。つまり、 ∇ μ T μ ν = 0. {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.} アインシュタイテンソルの物理学的な意味は、この等式により非常に重要であることがわかる。キリングベクトル ξ μ {\displaystyle \xi ^{\mu }} 上で縮約された密度化ストレステンソルの項では、通常の保存則は、 ∂ μ ( − g T μ ν ξ ν ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0} である。
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