リーマンテンソル、リッチテンソル、リッチスカラーの変分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:15 UTC 版)
「アインシュタイン・ヒルベルト作用」の記事における「リーマンテンソル、リッチテンソル、リッチスカラーの変分」の解説
リッチスカラーの変分を計算するために、まず、リーマン曲率テンソルの変分を計算し、次いで、リッチテンソルの変分を計算する。リーマン曲率テンソルは次のように定義される。 R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ . {\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.} リーマン曲率テンソルはレビ・チビタ接続 Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }} とは独立であるので、リーマン曲率テンソルの変分は次のように計算できる。 δ R ρ σ μ ν = ∂ μ δ Γ ν σ ρ − ∂ ν δ Γ μ σ ρ + δ Γ μ λ ρ Γ ν σ λ + Γ μ λ ρ δ Γ ν σ λ − δ Γ ν λ ρ Γ μ σ λ − Γ ν λ ρ δ Γ μ σ λ . {\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.} ここで、2つの接続の差異 δ Γ ν μ ρ {\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }} はテンソルであり、従って、この共変微分を次のように計算することができる。 ∇ λ ( δ Γ ν μ ρ ) = ∂ λ ( δ Γ ν μ ρ ) + Γ σ λ ρ δ Γ ν μ σ − Γ ν λ σ δ Γ σ μ ρ − Γ μ λ σ δ Γ ν σ ρ . {\displaystyle \nabla _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })=\partial _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })+\Gamma _{\sigma \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }.} ここで上のリーマン曲率テンソルの変分の表現は、2つの項の差 δ R ρ σ μ ν = ∇ μ ( δ Γ ν σ ρ ) − ∇ ν ( δ Γ μ σ ρ ) {\displaystyle \delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho })} に等しいということが分かる。 リーマン曲率テンソルの変分は単純にリーマンテンソルの変分の 2つのインデックスを簡約することで求めることができ、次のパラティーニ恒等式（英語版）(Palatini identity)を得る。 δ R μ ν ≡ δ R ρ μ ρ ν = ∇ ρ ( δ Γ ν μ ρ ) − ∇ ν ( δ Γ ρ μ ρ ) . {\displaystyle \delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }).} リッチスカラーは、 R = g μ ν R μ ν . {\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!} として定義されるので、その逆計量 g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} についての変分は δ R = R μ ν δ g μ ν + g μ ν δ R μ ν = R μ ν δ g μ ν + ∇ σ ( g μ ν δ Γ ν μ σ − g μ σ δ Γ ρ μ ρ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+\nabla _{\sigma }\left(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right).\end{aligned}}} により与えられる。二行目は、前に得たリッチ曲率の変分の結果と共変微分の計量との整合性 ∇ σ g μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0} を使った。 最後の項 ∇ σ ( g μ ν δ Γ ν μ σ − g μ σ δ Γ ρ μ ρ ) {\displaystyle \nabla _{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho })} に − g {\displaystyle {\sqrt {-g}}} をかけると、全微分となる。なぜならば、 − g A ; a a = ( − g A a ) , a o r − g ∇ μ A μ = ∂ μ ( − g A μ ) {\displaystyle {\sqrt {-g}}A_{;a}^{a}=({\sqrt {-g}}A^{a})_{,a}\;\mathrm {or} \;{\sqrt {-g}}\nabla _{\mu }A^{\mu }=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}A^{\mu }\right)} であり、ストークスの定理により、積分するときには境界項でのみ積分すればよい。従って、計量 δ g μ ν {\displaystyle \delta g^{\mu \nu }} の変分が無限遠点でゼロとなるとき、この項は作用の変分に寄与しない。さらに、 δ R δ g μ ν = R μ ν {\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }} を得る。
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