一般的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/09/20 09:46 UTC 版)
{α1, ..., αn} と {α'1, ..., α'n} を、V に対する二つの順序付けられた基底とする。φ1 と φ2 を、それに対応する Rn から V への座標同型（線型写像）とする。すなわち、j = 1, ..., n に対して φ1(ej) = αj と φ2(ej) = α'j が成立する。 x = (x1, ..., xn) を、第一の基底に関する ξ の座標 n-タプルとすると、ξ = φ1(x) が成り立ち、第二の基底に関する ξ の座標タプルは φ2-1(ξ) = φ2-1(φ1(x)) となる。今、写像 φ2-1 o φ1 を Rn 上の自己同型とし、したがって行列 p が存在するものとする。さらに、p の第 j 列は φ2-1 o φ1(ej) = φ2-1(αj)、すなわち、第二の基底 {α'1, ..., α'n} に関する αj の座標 n タプルである。したがって、y = φ2-1(φ1(x)) = px は基底 {α'1, ..., α'n} に関する ξ の座標 n タプルである。
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一般的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 08:47 UTC 版)
粒子が任意のスピン（たくさんのスピン状態）を持っている場合、磁化率の公式は少し複雑になる。このより一般的な公式とその導出には、ブリルアン関数を参照すること。スピンが無限に近づくにつれ、磁化の公式は以下の節で導出する古典的な値に近づいてゆく。
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一般的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 07:24 UTC 版)
平均自由行程を考える際には、粒子がある領域を移動する際に、どの程度の粒子が散乱の影響を受けるか、その比率が必要となる。これは、以下に示す考え方で求めることができる。 一辺が L {\displaystyle L} の正方形を断面に持つ、厚さ d x {\displaystyle dx} の直方体を考える。この体積は、 L 2 d x {\displaystyle L^{2}dx} であり、この中に含まれる散乱源の個数は散乱源の数密度nより、 n L 2 d x {\displaystyle nL^{2}dx} となる。これらの散乱源はその中心から一定半径の距離内に入った粒子（衝突径数が一定値以下になる粒子）を散乱させる。これは、散乱源が一定の面積σを持っていると考えることができ、これを捕獲断面積（cross section）と言う。この捕獲断面積と散乱源の個数から、この直方体での総捕獲断面積 Scapture は、次の形で計算される。 S c a p t u r e = n L 2 σ d x {\displaystyle S_{\mathrm {capture} }=nL^{2}\sigma dx} この直方体の断面積は L 2 {\displaystyle L^{2}} であるため、この直方体で粒子が散乱される確率 Pcapture は、次の式で表される。 P c a p t u r e = S c a p t u r e S a l l = n L 2 σ d x L 2 = n σ d x {\displaystyle P_{\mathrm {capture} }={{S_{\mathrm {capture} }} \over {S_{\mathrm {all} }}}={{nL^{2}\sigma dx} \over {L^{2}}}=n\sigma dx} この確率から、粒子の個数 I {\displaystyle I} の減少量 d I {\displaystyle dI} は、厚さ d x {\displaystyle dx} に対して、次の式で表される。 d I = − I n σ d x {\displaystyle dI=-In\sigma dx} この微分方程式の解と、最初の粒子の入射数を I 0 {\displaystyle I_{0}} とすれば、 I = I 0 exp ( − n σ x ) {\displaystyle I=I_{0}\exp(-n\sigma x)} となる。これが粒子の走行距離とその比率であるため、この平均が平均自由行程となる。したがって、平均自由行程 ℓ {\displaystyle \ell } は、次の式で表される。 ℓ = ( n σ ) − 1 {\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}
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一般的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/10/23 07:55 UTC 版)
「函数体 (スキーム論)」の記事における「一般的な場合」の解説
問題は、X が整でなくなるときに起きる。正則函数の環は零因子を持つことができるようになり、そのため商体が存在しなくなってしまう。ナイーブな答えは、商体を全商環に置き換える、つまり、零因子でない全ての元を逆を取ることである。不幸にも、一般には、全商環は前層を生成せず、もちろん層も生成しない。参考文献に挙げてあるクライマンの有名な論文には、そのような例が記載されている。 正しい答は次のようになる。 各々の開集合 U に対し、SU を任意の茎 OX,x の中の零因子でない Γ(U, OX) の元全体の集合とする。KXpre を U 上の切断が局所化 SU-1Γ(U, OX) であり、制限写像が局所化の普遍的性質により OX の制限写像から誘導されるような前層であるとすると、KX は前層 KXpre に伴う層である。
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一般的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:19 UTC 版)
前節の例から従う一般的なアイデアは次のようなものである：ある微分方程式を u について解く時、その方程式に現れる u の導関数がどのようなものであっても、部分積分によって u が「移される」ようないわゆるテスト函数 φ {\displaystyle \varphi } を用いることで、その方程式を書き換えることが出来る。この方法によって、元の方程式の必ずしも微分可能でなくてもよい解を得ることが出来る。 上述の手法は、波動方程式よりもさらに一般的な方程式に対しても適用することが出来る。実際、Rn 内のある開集合 W における線型微分作用素 P ( x , ∂ ) u ( x ) = ∑ a α 1 , α 2 , … , α n ( x ) ∂ α 1 ∂ α 2 ⋯ ∂ α n u ( x ) {\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)} を考える。ここで多重指数 (α1, α2, ..., αn) は Nn 内のある有限集合について変動するものとし、係数 a α 1 , α 2 , … , α n {\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}} は十分滑らかな x の函数とする。 微分方程式 P(x, ∂)u(x) = 0 は、W 内に台を持つあるテスト函数 φ {\displaystyle \varphi } を掛けたのち、部分積分を行うことにより、次のように書き換えることが出来る： ∫ W u ( x ) Q ( x , ∂ ) φ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0} Q ( x , ∂ ) φ ( x ) = ∑ ( − 1 ) | α | ∂ α 1 ∂ α 2 ⋯ ∂ α n [ a α 1 , α 2 , … , α n ( x ) φ ( x ) ] {\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]} ( − 1 ) | α | = ( − 1 ) α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}} が生じる理由は、微分方程式の各項における全ての偏導関数を u から φ {\displaystyle \varphi } へ移すために α1 + α2 + ... + αn 回の部分積分が必要であることと、それら各部分積分一回ごとに −1 を掛ける必要があるからである。 微分作用素 Q(x, ∂) は、P(x, ∂) の形式的随伴（formal adjoint）である（随伴の概念については随伴作用素を参照）。 まとめると、元の（強）問題が、開集合 W 上の |α| 回微分可能な函数 u で P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 for all x ∈ W {\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W} を満たすもの（いわゆる強解）を見つける、という問題であるとき、ある可積分函数 u が弱解であるとは、W にコンパクトな台を持つ全ての滑らかな函数 φ {\displaystyle \varphi } に対して、 ∫ W u ( x ) Q ( x , ∂ ) φ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0} 成り立つことを言う。
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