一般的な定式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 02:10 UTC 版)
2つの演算子X、Nが次の交換関係を満たすと仮定する。 [ N , X ] = c X {\displaystyle [N,X]=cX} ここで c はスカラー量。 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } を演算子 N の固有状態とする。 N | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle } このとき演算子 X が | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 作用すると固有値を c だけシフトする。 N X | n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) | n ⟩ = X N | n ⟩ + [ N , X ] | n ⟩ = X n | n ⟩ + c X | n ⟩ = ( n + c ) X | n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}} つまり | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } が N の固有値 n における固有状態であるとき、 X | n ⟩ {\displaystyle X|n\rangle } は固有値 n + c をもつ N の固有状態である。演算子 X は c が正の実数であるとき N の上昇演算子、 c が負の実数であるとき N の下降演算子という。 もし N がエルミート演算子 のとき、c は実数でなければならず、Xのエルミート随伴 は次の交換関係を満たす。 [ N , X † ] = − c X † . {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.} 特に X が N の下降演算子のときの X† は N の上昇演算子であり、その逆も成り立つ。
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