交換子
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/08 13:26 UTC 版)
数学における交換子（こうかんし、英: commutator）は、二項演算がどの程度可換性からかけ離れているかを測る指標の役割を果たすものである。考えている代数構造により定義が異なる。物理学、特に量子力学における交換子の役割については、交換関係 (量子力学)の項を参照。
群論における交換子
群 G の二つの元 g, h の交換子は
- [g, h] = g−1h−1gh
あるいは
- [g, h] = ghg−1h−1
で定義される（文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う[要出典]）。交換子がその群の単位元 1 に等しいことと、g と h が互いに可換（つまり gh = hg）となることとは同値である。G のすべての交換子から生成される G の部分群を、G の導来群 (derived group) または交換子群と呼び、［G, G］ あるいは G′ と表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合 { ［x, y］｜x, y ∈ G } そのものではなく、それで生成される部分群 〈 ［x, y］｜x, y ∈ G 〉 を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。
- ［G, G］ = 〈 ［x, y］｜x, y ∈ G 〉.
群論における恒等関係式
交換子についての関係式は群論における重要な道具である[1]。以下、ax は x による a の共軛変換（共軛元） x−1ax を表す。
交換関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
x軸(1,0,0)、y軸(0,1,0)、z軸(0,0,1)∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} を回転軸に持つスピン角運動量演算子を S ^ x , S ^ y , S ^ z {\displaystyle {\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}} とすると、 S ^ x = i ℏ ( π s ) ∗ ( X 1 ) S ^ y = i ℏ ( π s ) ∗ ( X 2 ) S ^ z = i ℏ ( π s ) ∗ ( X 3 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {S}}_{x}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})\\{\hat {S}}_{y}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})\\{\hat {S}}_{z}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})\end{array}}} となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ： [ S ^ x , S ^ y ] = ( i ℏ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 1 , X 2 ] ) = i ℏ ⋅ i ℏ ( π s ) ∗ ( X 3 ) = i ℏ S ^ z [ S ^ y , S ^ z ] = ( i ℏ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 2 , X 3 ] ) = i ℏ ⋅ i ℏ ( π s ) ∗ ( X 1 ) = i ℏ S ^ x [ S ^ z , S ^ x ] = ( i ℏ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 3 , X 1 ] ) = i ℏ ⋅ i ℏ ( π s ) ∗ ( X 2 ) = i ℏ S ^ y {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{1},X_{2}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})=i\hbar {\hat {S}}_{z}\\\left[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{2},X_{3}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})=i\hbar {\hat {S}}_{x}\\\left[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{3},X_{1}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})=i\hbar {\hat {S}}_{y}\end{aligned}}}
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