生成消滅演算子との交換関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/09 10:12 UTC 版)
「数演算子」の記事における「生成消滅演算子との交換関係」の解説
数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。 [ N ^ , a ^ ] = − a ^ {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}} [ N ^ , a ^ † ] = a ^ † {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }} 証明交換関係の性質として [ A B , C ] = A [ B , C ] + [ A , C ] B {\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B} が成り立つ。ここへ A = a ^ † {\displaystyle A={\hat {a}}^{\dagger }} 、 B = a ^ {\displaystyle B={\hat {a}}} 、 C = a ^ {\displaystyle C={\hat {a}}} を代入すると、 [ a ^ † a ^ , a ^ ] = a ^ † [ a ^ , a ^ ] + [ a ^ † , a ^ ] a ^ {\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}} 数演算子の定義 N ^ ≡ a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} 、交換関係の性質 [ a ^ , a ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=0} 、生成消滅演算子の定義 [ a ^ , a ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1} を代入すると、 [ N ^ , a ^ ] = − a ^ {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}} 2つ目の式についても同様。
※この「生成消滅演算子との交換関係」の解説は、「数演算子」の解説の一部です。
「生成消滅演算子との交換関係」を含む「数演算子」の記事については、「数演算子」の概要を参照ください。
- 生成消滅演算子との交換関係のページへのリンク
