生成消滅演算子の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
「フォック状態」の記事における「生成消滅演算子の導入」の解説
この新しいフォック空間表現では、同じ対称性の性質を表現しなければならない。 そのため各モード i {\displaystyle i} のボース粒子の生成消滅演算子を、以下の交換関係を満たす演算子 b ^ i † {\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }} 、 b ^ i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}} として定義する。 [ b ^ i , b ^ j † ] ≡ b ^ i b ^ j † − b ^ j † b ^ i = δ i j {\displaystyle [{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]\equiv {\hat {b}}_{i}{\hat {b}}_{j}^{\dagger }-{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}=\delta _{ij}} [ b ^ i † , b ^ j † ] = [ b ^ i , b ^ j ] = 0 {\displaystyle [{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]=[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}]=0} ここで δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタである。生成消滅演算子はエルミート演算子ではない。 生成消滅演算子がエルミート演算子ではない証明フォック状態 | ⋯ , n l , ⋯ ⟩ {\displaystyle |\cdots ,n_{l},\cdots \rangle } で消滅演算子をはさむと ⟨ ⋯ , n l , ⋯ | b l | ⋯ , ( n l − 1 ) , n l , ( n l + 1 ) , ⋯ ⟩ = n l ⟨ ⋯ , n l , ⋯ | ⋯ ( n l − 1 ) , ( n l − 1 ) , ( n l + 1 ) , ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \cdots ,n_{l},\cdots |b_{l}|\cdots ,(n_{l}-1),n_{l},(n_{l}+1),\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}}}\langle \cdots ,n_{l},\cdots |\cdots (n_{l}-1),(n_{l}-1),(n_{l}+1),\cdots \rangle } 一方で生成演算子をはさむと、 = ⟨ ⋯ , n l , ⋯ | b l † | ⋯ , ( n l − 1 ) , n l , ( n l + 1 ) , ⋯ ⟩ = n l + 1 ⟨ ⋯ , n l − 1 ⋯ | ⋯ , ( n l − 1 ) , ( n l + 1 ) , ( n l + 1 ) , ⋯ ⟩ {\displaystyle =\langle \cdots ,n_{l},\cdots |b_{l}^{\dagger }|\cdots ,(n_{l}-1),n_{l},(n_{l}+1),\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}+1}}\langle \cdots ,n_{l}-1\cdots |\cdots ,(n_{l}-1),(n_{l}+1),(n_{l}+1),\cdots \rangle } よって生成(消滅)演算子のエルミート共役は、自分自身にはならない。よってエルミート演算子ではない。 生成演算子のエルミート共役は消滅演算子であり、消滅演算子のエルミート共役は生成演算子である。:45
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