生成消滅演算子の作用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
「フォック状態」の記事における「生成消滅演算子の作用」の解説
多重モードのフォック状態におけるそれぞれの生成消滅演算子は、それ自身のモードにのみ作用する。たとえば b ^ i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}} と b ^ i † {\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }} は、 | n i ⟩ {\displaystyle |n_{i}\rangle } にだけ作用する。 b ^ i | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = n i | n 1 , n 2 , ⋯ , n i − 1 , ⋯ ⟩ b ^ i † | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = n i + 1 | n 1 , n 2 , ⋯ , n i + 1 , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{i}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}-1,\cdots \rangle \\{\hat {b}}_{i}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}+1}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}+1,\cdots \rangle \end{aligned}}} つまり生成消滅演算子の多重モード状態への作用は、それら自身のモードの粒子数（あるいは占有数）を１だけ増加または減少させるだけである。異なるモードに対応する演算子はヒルベルト空間の異なる部分空間に作用する。 たとえば、 真空状態(どの状態にも粒子が無い状態） | 0 1 , 0 2 , ⋯ , 0 i , ⋯ ⟩ {\displaystyle |0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle } にモード i {\displaystyle i} の生成消滅演算子が作用すると、 b ^ i † | 0 1 , 0 2 , ⋯ , 0 i , ⋯ ⟩ = | 0 1 , 0 2 , ⋯ , 1 i , ⋯ ⟩ b ^ l | 0 1 , 0 2 , ⋯ , 0 i , ⋯ ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{i}^{\dagger }|0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle &=|0_{1},0_{2},\cdots ,1_{i},\cdots \rangle \\{\hat {b}}_{l}|0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle &=0\end{aligned}}} 生成演算子を真空状態に作用させることで、どんなフォック状態も作ることができる。 | n 1 , n 2 , ⋯ ⟩ = ( b 1 † ) n 1 n 1 ! ( b 2 † ) n 2 n 2 ! ⋯ | 0 1 , 0 2 , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots \rangle ={\frac {(b_{1}^{\dagger })^{n_{1}}}{\sqrt {n_{1}!}}}{\frac {(b_{2}^{\dagger })^{n_{2}}}{\sqrt {n_{2}!}}}\cdots |0_{1},0_{2},\cdots \rangle }
※この「生成消滅演算子の作用」の解説は、「フォック状態」の解説の一部です。
「生成消滅演算子の作用」を含む「フォック状態」の記事については、「フォック状態」の概要を参照ください。
- 生成消滅演算子の作用のページへのリンク
