交換関係・反交換関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
パウリ行列の交換関係と反交換関係は [ σ i , σ j ] = σ i σ j − σ j σ i = 2 i ∑ k = 1 3 ϵ i j k σ k , { σ i , σ j } = σ i σ j + σ j σ i = 2 δ i j I {\displaystyle {\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}} となる。
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交換関係・反交換関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/07 17:41 UTC 版)
「ゲルマン行列」の記事における「交換関係・反交換関係」の解説
ゲルマン行列の交換関係 [λa, λb]=λa λb-λb λa は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。 [ λ a , λ b ] = 2 i ∑ c = 1 8 f a b c λ c {\displaystyle [\lambda _{a},\lambda _{b}]=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c}} ここで、fabc は添え字 a, b, c について、完全反対称な実係数である。fabc のうち、ゼロでないものは、a < b < c を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。 f 123 = 1 {\displaystyle f_{123}=1} f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = 1 2 {\displaystyle f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}={\frac {1}{2}}} f 156 = f 367 = − 1 2 {\displaystyle f_{156}=f_{367}=-{\frac {1}{2}}} f 458 = f 678 = 3 2 {\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} 一方、反交換関係 {λa, λb}=λa λb+λb λa は次の形をとる。 { λ a , λ b } = 4 3 δ a b + 2 ∑ i = 1 8 d a b c λ c {\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}+2\sum _{i=1}^{8}d_{abc}\lambda _{c}} ここで、dabc は添え字a, b, c について、完全対称な実係数である。dabc のうち、ゼロでないものをa < b < c を満たすもので代表させて表すと、 d 118 = d 228 = d 338 = 1 3 {\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}={\frac {1}{\sqrt {3}}}} d 888 = − 1 3 {\displaystyle d_{888}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}} d 146 = d 157 = d 256 = d 344 = d 355 = 1 2 {\displaystyle d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}={\frac {1}{2}}} d 247 = d 366 = d 377 = − 1 2 {\displaystyle d_{247}=d_{366}=d_{377}=-{\frac {1}{2}}} d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 {\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}}
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