線型計画法

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線型計画法

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線形計画法（せんけいけいかくほう、英語: linear programming、略称: LP）は、数理計画法において、いくつかの1次不等式および1次等式を満たす変数の値の中で、ある1次式を最大化または最小化する値を求める方法である。線形計画法の対象となる最適化問題を線形計画問題という。

概要

線型計画法はいくつかの理由で最適化の重要な分野である。オペレーションズリサーチの多くの実際的な問題は線型計画問題として記述できる。ある特殊なケースのネットワークフロー問題（英語版）や多品種流問題（英語版）といった線型計画問題はこれらを解くために特別なアルゴリズムを考案するに値するほど重要だと考えられている。他のタイプの最適化問題に使われる多くのアルゴリズムは線型計画法を解くことで代用できる。歴史的には、線型計画法の考えによって双対性、分割、凸解析の重要性や一般化のような最適化の主要な理論を引き起こした。

線型計画問題

数学的には線型計画問題は、目的関数と制約条件がすべて線型の最適化問題である。

2変数 ${\displaystyle x_{1}(\geq 0)}$

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• Hodges, S. M. （1977年）, "A Model for Bond Portfolio Improvement," Journal of Financial and Quantitative Analysis, June 1977, pp.243-260.
• Ronn, E. I. （1987年）, "A New Linear Programming Approach to Bond Portfolio Management," Journal of Financial and Quantitative Analysis, December 1987, pp. 439-466.
• V. Chv'atal: Linear Programming, W. H. Freeman, New York, 1983.
• G. B. Dantzig: Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, Princeton, 1963.
• Y. E. Nesterov and A. S. Nemirovskii: Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming, SIAM, Philadelphia, 1994.
• A. Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley and Sons, New York, 1986.
• 水野 眞治, 『シンプレックス法の巡回とその回避』, http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP3A-simplex.pdf 
• 松井 知己, 『Bland の最小添字規則の有限性 -単体法の非巡回ピヴォット規則- 』, http://tomomi.my.coocan.jp/text/bland7.pdf 
• 藤重悟：「線形計画問題の強多項式解法について」,オペレーションズ・リサーチ，1987年1月号，pp.14-18.
• 室田一雄、杉原正顕：「線形代数II」、東京大学工学教程、丸善出版（2013）.

関連項目

• 線型代数学
• 非線型計画法

表 話 編 歴 数理最適化 • 最適化問題 : メソッド • ヒューリスティック
非線形（無制約）	… 関数　 黄金分割探索 直線探索 ネルダー–ミード法 放物線補間 パウエル法 勾配法 収束性 信頼領域 ウルフ条件 準ニュートン法 BFGS法 ブロイデン法 L-BFGS法 DFP法 SR1法 BHHH法 その他の求解法 ガウス・ニュートン法 最急降下法（確率的） レーベンバーグ・マーカート法 共役勾配法（非線形共役勾配法） 打ち切りニュートン法 ドッグレッグ法 鏡像 座標 バルジライ・ボールウェイン法 … ヘッセ行列 最適化におけるニュートン法	Optimization computes maxima and minima.
非線形（制約付き）	一般 バリア関数 ペナルティ関数法 微分可能 ラグランジュの未定乗数法 拡張ラグランジュ関数法 逐次二次計画法 逐次線形計画法 逐次線形二次計画法
凸最適化	凸最小化 切除平面法 簡約勾配法 劣勾配法 近接勾配法 線形 および 二次 内点法 アフィンスケーリング法 カーマーカーの射影変換法 メロートラの予測子修正子法 基底-交換 単体法 改訂単体法 十文字法 レムケの相補掃き出し法 その他 カチヤンの楕円体法 有効制約法 列生成法 ベンダーズ分解法
組合せ最適化	系列範例 (Paradigms) 近似アルゴリズム 動的計画法 貪欲法 整数計画問題（分枝限定法・分枝カット法・分枝価格法） グラフ理論 最小全域木 ブルーフカ法 クラスカル法 プリム法 最短経路問題 ベルマン–フォード法 ダイクストラ法 ワーシャル–フロイド法 ジョンソン法 ネットワークフロー (最大流問題) ディニッツ法 エドモンズ・カープ法 フォード・ファルカーソン法 プリフロープッシュ法
メタヒューリスティクス	進化的アルゴリズム（進化戦略・遺伝的アルゴリズム） 山登り法 局所探索法 焼きなまし法 タブーサーチ 群知能 ベイスンホッピング法 量子焼きなまし法
カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア

表 話 編 歴 主要な最適化問題の分類（最適化）
凸最適化 線形計画問題 分数計画問題（英語版） 整数計画問題 二次計画問題 非線形計画問題 確率最適化法（英語版） ロバスト最適化（英語版） 組合せ最適化 半無限計画問題（英語版） 二次錐計画問題 半正定値計画問題 メタヒューリスティクス 制約充足性（英語版） 多目的最適化（英語版） 均衡制約付き数理計画問題 錐最適化（英語版） 二次制約付き二次計画問題（英語版）

典拠管理データベース: 国立図書館	フランス BnF data ドイツ イスラエル アメリカ 日本 チェコ

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線型計画法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/28 01:04 UTC 版)

「アルゴリズム」の記事における「線型計画法」の解説

線型計画法で解ける問題では、制約条件として入力に関する線型の不等式があり、入力に関するある線型の関数を最大化（または最小化）する値の組合せを求めるものである。有向グラフに関する最大フロー問題など、多くの問題が線型計画問題として記述でき、シンプレックス法などの汎用アルゴリズムで解くことができる。線型計画法の解空間を整数に限定したものを整数計画法と呼ぶ。