線型連立方程式のすべての解の求解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「線型連立方程式のすべての解の求解」の解説
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} を係数行列とする以下の線型連立方程式が複数の解を持つとする。 A x = b {\displaystyle Ax=b} するとすべての解は、任意のベクトル w ∈ k n {\displaystyle w\in \mathbb {k} ^{n}} に対して以下の式で与えられる。 x = A + b + [ I n − A + A ] w {\displaystyle x=A^{+}b+\left[I_{n}-A^{+}A\right]w} 解は、 A A + b = b {\displaystyle AA^{+}b=b} のとき、またそのときに限り存在する。後者の場合、解は、 A {\displaystyle A} が列フルランク（ [ I n − A + A ] {\displaystyle [I_{n}-A^{+}A]} が零行列）のとき、またそのときに限り一意に定まる。解は存在するが A {\displaystyle A} が列フルランクでないならば、不定方程式となり、その無数のすべての解は最後の方程式によって与えられる。
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