線型部分空間でのブローアップ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/14 21:15 UTC 版)
「ブローアップ (数学)」の記事における「線型部分空間でのブローアップ」の解説
P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} を n 次元射影空間とする。これの余次元dの線型部分空間Lを1つ取る。L に沿った P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} のブローアップを記述する具体的な方法はいくつかある。 P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} の座標を X 0 , … , X n {\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}} とする。座標を取り替えることにより、 L = { X n − d + 1 = ⋯ = X n = 0 } {\displaystyle L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}} としてよい。ブローアップは P n × P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{d-1}} の部分空間として定義できる。 Y n − d + 1 , … , Y n {\displaystyle Y_{n-d+1},\dots ,Y_{n}} をこれの2番目の直積因子の座標とする。Lは正則列によって定義されているので、ブローアップは行列 ( X n − d + 1 ⋯ X n Y n − d + 1 ⋯ Y n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{n-d+1}&\cdots &X_{n}\\Y_{n-d+1}&\cdots &Y_{n}\end{pmatrix}}} の 2 × 2 小行列式の解によって決定される。この方程式系を満たすことは2つの行が線形従属であることと同値である。点 P ∈ P n {\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}} がLに入るのは、この点の座標で上の行列の1行目を作ったときにこの行がゼロになるとき、かつそのときに限る。この場合、Qに何の条件もない。しかし、1行目がゼロではないときは、線形従属性から2行目はこれのスカラー倍になる。したがって ( P , Q ) {\displaystyle (P,Q)} がブローアップに入る一意な点 Q ∈ P d − 1 {\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{d-1}} が存在する。 このブローアップもまた結合対応 { ( P , M ) : P ∈ M , L ⊆ M } ⊆ P n × Gr ( n − d + 1 , n ) {\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n-d+1,n)} として表示できる。ここで Gr {\displaystyle \operatorname {Gr} } は P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} における ( n − d + 1 ) {\displaystyle (n-d+1)} 次元部分空間のグラスマン多様体（英語版）である。前述の座標による表示との関係を見るために、まずL を含むすべての M ∈ Gr ( n − d + 1 , n ) {\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n-d+1,n)} からなる集合は射影空間 P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} と同型であることに着目する。これは、各部分空間MはLとLに含まれない点Qによって生成され、Lの外の2つの点 Q と Q' が同じMを定めるのは P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} へ射影したときに同じ像を定めるとき、かつそのときに限ることによる。したがってグラスマン多様体を P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} のコピーに置き換えられる。 P ∉ L {\displaystyle P\not \in L} であるときは、P を含む唯一の部分空間 M が存在し、それはP と Lで張られる空間である。先の座標の言葉で言えば、これは ( X n − d + 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{n-d+1},\dots ,X_{n})} が零ベクトルではない場合に相当する。 P ∈ L {\displaystyle P\in L} の場合は ( X n − d + 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{n-d+1},\dots ,X_{n})} が零ベクトルである場合に相当し、この場合はQ として任意のものが取れる、つまりL を含む任意の M が可能である。
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