線型連続体

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線型連続体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/04 13:46 UTC 版)

数学の順序理論の分野において、線型連続体(せんけいれんぞくたい、linear continuum)とは実数直線を一般化したものである。ここでの「連続体」という語は連続体 (位相空間論)とは異なる。

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線型連続体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:29 UTC 版)

「連続体 (集合論)」の記事における「線型連続体」の解説

詳細は「線型連続体」を参照 Raymond Wilder (1965) によれば集合 C と関係 < の組 (C, <) が線型連続体とは以下の四つの公理 全順序性: 集合 C は関係 < に関して線型順序付けられる。 デテキント切断: [A, B] を C の切断とすると、A が最大元を持つか B が最小元を持つかの何れか一方のみが成り立つ。 可分性公理: C の空でない可算部分集合 S が存在して、x, y ∈ C が x < y を満たすならば常に適当な z ∈ S によって x < z < y とすることができる。 非有界性公理: C は最小元も最大元も持たない。 を満たすことを言う。これらの公理は実数直線の順序型を特徴づけるものである。

線型連続体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:49 UTC 版)

「実数直線」の記事における「線型連続体」の解説

実数直線は標準的な大小関係 < による順序に関して線型連続体である。具体的に言えば、実数直線は 大小関係 < に関して全順序集合であり、またこの順序は稠密で、上限性質を持つ。 上記の性質に加えて、実数直線は最大元も最小元も持たない。また、部分集合として可算で稠密なもの（要するに有理数の全体）を含む。可算稠密部分集合を持ち、最大元も最小元も持たないような任意の線型連続体は実数直線に順序同型であるという定理がある。 実数直線は可算鎖条件 (ccc): 「R における互いに交わらない空でない開区間からなる任意の族は可算である」 を満足する。順序集合論においてよく知られるススリンの問題は「最大元も最小元も持たず可算鎖条件を満足する線型連続体は R に順序同型でなければならないか」ということを問うものである。そしてこの問題の主張は、集合論で標準的な公理系として用いられる ZFC から独立であることが知られている。