線型連立方程式の最小ノルム解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「線型連立方程式の最小ノルム解」の解説
一意でない解（劣決定系など）を持つ線型連立方程式 A x = b {\displaystyle Ax=b} では、擬似逆行列を使用して、すべての解の中で最小のユークリッドノルム ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \|x\|_{2}} の解を構築できる。 A x = b {\displaystyle Ax=b} ならば、ベクトル z = A + b {\displaystyle z=A^{+}b} は解であり、すべての解に対して ‖ z ‖ 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \|z\|_{2}\leq \|x\|_{2}} が成り立つ。 ユークリッドノルムをフロベニウスノルムに置き換えると、複数右辺ベクトルを持つ連立方程式に簡単に拡張できる。 B ∈ k m × p {\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times p}} とすると、次のようになる。 A X = B {\displaystyle AX=B} ならば、行列 Z = A + B {\displaystyle Z=A^{+}B} は解であり、すべての解に対して ‖ Z ‖ F ≤ ‖ X ‖ F {\displaystyle \|Z\|_{\mathrm {F} }\leq \|X\|_{\mathrm {F} }} が成り立つ。
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