幾何学的構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「幾何学的構成」の解説
行列 A : k n → k m {\displaystyle A\colon \mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m}} を体 k {\displaystyle \mathbb {k} } 上の線型写像として見ると、 A + : k m → k n {\displaystyle A^{+}\colon \mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n}} は次のように分解できる。ここで、 ⊕ {\displaystyle \oplus } を直和、 ⊥ {\displaystyle \perp } を直交補空間、 ker {\displaystyle \operatorname {ker} } を写像の核、そして ran {\displaystyle \operatorname {ran} } を写像の像とする。 k n = ( ker A ) ⊥ ⊕ ker A {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A} となり k m = ran A ⊕ ( ran A ) ⊥ {\displaystyle \mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }} となることに注意せよ。 A : ( ker A ) ⊥ → ran A {\displaystyle A\colon \left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A} と制限すると、同型写像となる。これは、 ran A {\displaystyle \operatorname {ran} A} 上で A + {\displaystyle A^{+}} がこの同型写像の逆写像となり、 ( ran A ) ⊥ {\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }} 上で核が逆写像となることを含意する。 言い換えれば： k m {\displaystyle \mathbb {k} ^{m}} の元 b {\displaystyle b} が与えられたとき、 A + b {\displaystyle A^{+}b} を探すために、まず A {\displaystyle A} の値域に直交するように b {\displaystyle b} を射影し、値域内の点 p ( b ) {\displaystyle p(b)} を探す。次に A − 1 ( { p ( b ) } ) {\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})} を作る。すなわち、 k n {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}} に属し、 A {\displaystyle A} を p ( b ) {\displaystyle p(b)} に写すベクトルを探す。これは A {\displaystyle A} の核に平行する k n {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}} のアフィン部分空間になる 。長さが最小の（つまり、原点に最も近い）を持つこの部分空間の元が、求めたい答え A + b {\displaystyle A^{+}b} になる。 A − 1 ( { p ( b ) } ) {\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})} の任意の元を選び、それを A {\displaystyle A} の核の直交補空間に直交して投影することで求まる。 この説明は、線型連立方程式の最小ノルム解と密接に関連する。
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