楕円体法とは? わかりやすく解説

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楕円体法

読み方だえんたいほう
【英】:ellipsoid method

概要

 楕円体法(ellipsoid method) は, 微分不可能な凸計画問題対す解法として, 1976年にユーディンとネミロフスキー(Yudin-Nemirovskii) によって提案された. その後1979年にカチヤン(L. G. Khachiyan)は, 楕円体法が線形計画問題対す多項式時間解法成り得ることを示した. この結果は, 長年わたって未解決のままであった,「線形計画問題多項式時間で解くことが出来るか?」という計算複雑度に関する問題への肯定的な答を与えるものであり, 数理計画分野衝撃もたらした. 線形計画法対す解法としての楕円体法は, 実用の面からは単体法などに比べて効率悪く, また理論的な計算量の面からも, 1984年以降現れ内点法劣っていることが分かっている. しかしながら, 線形, 非線形, 組合せなどの最適化問題対し, 様々な理論的な結果残している. 「n 次元空間における楕円体用いた2分探索のような解法である.

詳説

 楕円体法を説明するために, 与えられ多面体 P = \{x \in \mathbf{R}^n \mid a_i^{\top} x \leq b_i\ (i = 1, 2, \cdots, m)\} が空であるか否か判定し, また空でなければ P\,含まれる点を求める, という非空性問題について考える. なお, P\, の上での線形関数 c^{\top} x最大化問題を解くには, \{x \in P \mid c^{\top} x \leq \gamma\} という多面体対する非空性問題繰り返し解き, \gamma \in \mathbf{R} に関する2分探索行えば良い.

 この問題対し, 以下の2点仮定する.


\mbox{(i)} \quad  P \subseteq \{x \in \mathbf{R}^n \mid \|x - x_0\| \leq R\}なる x_0 \in \mathbf{R}^n 及び R \in \mathbf{R}既知である.
\mbox{(ii)} \quad P\, が空でないならば, その体積\varepsilon (> 0)上である.


 楕円体法では, いわば 「n\,次元空間での 楕円体用いた2分探索」を行うことにより, P\,の点を求める. 各反復では, P\,を含む楕円体E_k\, を常に保持する. 楕円体 E_k\,は, 中心呼ばれるベクトル x_k \in \mathbf{R}^n及びn \times n正定値対称行列B_k\,用いて,


E_k = \{x \in \mathbf{R}^n \mid (x - x_k)^{\top} B_k^{-1}(x - x_k) \leq 1\}


表される. なお, 上記仮定 (i) より, B_0 = R^2 I と選ぶことができる.

 各反復では, x_k \in P\,成り立つか否か調べる. 成り立つ場合アルゴリズム停止する. 成り立たない場合は, a_i^{\top} x_k > b_i なる i\,存在するので, そのような i\, を見つける. 中心 x_k\, を通る超平面 a_i^{\top} x = a_i^{\top} x_k により, E_k\,半分にして得られる集合 E_k' = \{x \in E_k \mid a_i^{\top} x \leq a_i^{\top} x_k\}対し, これを含み, かつ体積最小楕円体E_{k+1}\, とおく. そのような楕円体 E_{k+1}\, を表す x_{k+1}\, 及び B_{k+1}\,次のようにして求められる:


x_{k+1} = x_k - \frac{1}{n+1}d,\qquad
B_{k+1} = \frac{n^2}{n^2 - 1}\left(B_k - \frac{2}{n+1}d d^{\top} \right).


ここで, d = (1/\sqrt{a_i^{\top}B_k a_i})B_k a_iである.


 上記のように E_{k+1}\,定めると, 楕円体の体積の比は,


\frac{{\rm vol}(E_{k+1})}{{\rm vol}(E_{k})}
 = \left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}
 \left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\right)^{1/2}
 < e^{-1/(2n)} < 1


となる. したがって, 楕円体の体積線形空間次元 n\, のみに依存する一定の比率減少していく. 反復回数 k\, が十分大きくなり 楕円体の体積\varepsilon 未満になった とすると, 仮定 (ii) により P = \emptyset であることが分かるので, アルゴリズム停止する. P\,多面体であることから, 仮定 (i), (ii) での x_0\,, R\,, \varepsilon をうまく選ぶことができ, それにより多項式回の反復終了することが導かれる.

 上記述べた楕円体法の改良として,「深い」(deep)カット用いた方法提案されている. この方法では, 半楕円体 E_k'\,代わりに, より小さな集合 \{x \in E_k \mid a_i^{\top} x \leq b_i\}注目し, それを含む最小楕円体 E_{k+1}\, へと更新していく. この場合, 連続する2つ楕円体の比は, \alpha = (a_i^{\top} x_k - b_i)/\sqrt{a_i^{\top}B_k a_i} とおくと,


\frac{{\rm vol}(E_{k+1})}{{\rm vol}(E_{k})}
 = \left(\left(\frac{n(1 - \alpha)}{n+1}\right)^{n+1}
 \left(\frac{n (1 + \alpha)}{n-1}\right)^{n-1}\right)^{1/2}


表され, また 0 \leq \alpha \leq 1 なので, 元の楕円体法に比べて反復回数減少することがわかる.

 さらに, 代用(surrogate)カット, 平行(parallel)カット用いれば, 楕円体の体積比をより減少させることができる. また, 深いカットと全く逆の考え方により得られる「浅い」(shallow)カット用いると, 連続する楕円体の体積比は逆に増加するが, 理論的には, 他のカットでは得られない興味深い結果を得ることができる. これらのカットについて詳細参考文献参照されたい.

 線形計画法対する楕円体法の適用は, 線形計画のみならず組合せ最適化においても重要な結果残している. その1つが, 最適化問題分離問題多項式時間に関する等価性であろう.

 P \subseteq \mathbf{R}^n多面体とする. ただし, P\,不等式系による表現は必ずしも与えられていない, と仮定する. 分離問題とは, 任意のベクトル x_* \in \mathbf{R}^n与えられたとき, x_* \in P か否か判定し, x_* \not\in P ならば a^{\top} x \leq b (\forall x \in P) かつ a^{\top} x_* > b なる a \in \mathbf{R}^n 及び b \in \mathbf{R}求め問題のことである. 上記述べた楕円体法のアルゴリズムを見ると分かるが, 必ずしも P\,不等式表現陽に与えられている必要はなく, 各反復において P\,x_k\, に関する分離問題多項式時間解けるならば, 最適化問題もまた多項式時間で解くことができる. 一方, この逆もまた成り立つことが Grötschel-Lovász-Schrijver (1981) 及び Padberg-Rao (1981) によって証明されている.

 この他にも, 劣モジュラ関数最小化パーフェクトグラフでの最大 安定集合問題など組合せ最適化問題多項式時間解ける, という結果が, 楕円体法の適用により導かれている.



参考文献

[1] R. G. Bland, D. Goldfarb and M. J. Todd, "The ellipsoid method: a survey," Operations Research, 29(1981) 1039-1091.

[2] M. Grötschel, L. Lovász and A. Schrijver, Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer-Verlag, 1991.

[3] 伊理正夫,『線形計画法』, 共立出版, 1986.

[4] G. L. Nemhauser, A. H. G. Rinnooy Kan and M. J. Todd, eds., Optimization, Handbooks in Operations Research and Management Science Vol. 1, North-Holland, 1989. 伊理正夫, 今野浩, 刀根薫 監訳,『最適化ハンドブック』,朝倉書店, 1995.

「OR事典」の他の用語
線形計画:  最適化問題  最適解  楕円体  楕円体法  目的関数  相補性定理  等質自己双対錐

楕円体法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/02/28 02:08 UTC 版)

楕円体法(だえんたいほう、: ellipsoid method)とは数理最適化において凸集合内での凸関数最小化問題に対する反復法の一種である。楕円体法では各反復において楕円体を以前の反復より体積が小さくなるように生成し、凸関数の最小解集合を求める。

楕円体は有理数の入力データによる線形計画問題に対する多項式時間で解くアルゴリズムとなる。

歴史

楕円体法には長い歴史が存在する。楕円体法は反復法としてナウム・ショール英語版によって始めて提案された。1972年には実数の凸最小化問題に対する近似アルゴリズムとしてアルカディ・ネミロフスキ英語版とデビッド・B・ユーディンによって研究されていた。

有理数入力データの線形計画問題に対する楕円体法としてはレオニード・カチヤン英語版によって多項式時間で解くアルゴリズムとして提案・証明された。当時まで主に研究されていた単体法に関しては実用上では高速に動く解法であったが、理論的には指数時間アルゴリズムであったため、理論的に重要な成果であった。このことから、任意の入力に対して多項式時間を保証する楕円体の登場は大きな影響を与えた。

多項式時間を保証する線形計画問題に対するアルゴリズムがカチヤンの研究によって初めて示された。しかしながら実用上における楕円体法は計算速度が遅く、研究者の関心は低かった。にもかかわらず、後の線形計画問題に関する研究に大きな影響を与え、より実用的で多項式時間を保証する解法の提案につながった。特に初の多項式時間を保証する線形計画問題に対する内点法カーマーカー法は実用上も楕円体法よりも高速で実行し、最悪時間計算量も楕円体法よりも勝る。

楕円体法は最悪時において制約の行数に依らず問題の次元・サイズにのみ依存する計算量を持つことから、組合せ最適化理論において重要な役割を長年果たしてきた[1][2][3][4]。21世紀になり楕円体法と同様の計算量を持つ内点法も登場するようになった[要出典]

説明

凸最適化問題は以下の式から構成される。

  • 凸関数
    Optimization computes maxima and minima.
非線形(制約付き)
凸最適化
組合せ最適化
メタヒューリスティクス


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