ラグランジュの平均値の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 11:16 UTC 版)
「平均値の定理」の記事における「ラグランジュの平均値の定理」の解説
a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)} が成り立つ。これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。左辺は、グラフにおいて (a, f(a)), (b, f(b)) を結ぶ線分（曲線の弦と呼ぶ）の傾き（= 平均変化率）であるから、ラグランジュの平均値の定理は弦と平行な接線（= 瞬間の変化率）を持つ点が a と b の間に存在するということがこの定理の主張である。つまり平均値の定理は存在型の定理である。 またラグランジュの平均値の定理は b = a + h {\displaystyle b=a+h} 、 c = a + θ h {\displaystyle c=a+\theta h} とおくと、（ただし 0 < θ < 1 ） f ( a + h ) = f ( a ) + h f ′ ( a + θ h ) {\displaystyle f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)} とも表せる。
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