ラグランジュの定理による方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:16 UTC 版)
「ケプラー方程式」の記事における「ラグランジュの定理による方法」の解説
以下の命題が、陰関数のラグランジュの定理（英語版）である。 ラグランジュの定理 ― 1点 a を囲む単一閉曲線 C および C で囲まれた領域を D とし、領域 D で正則な関数 g(z) を考える。また、z の関数 | z − a | / g ( z ) {\displaystyle |z-a|/g(z)} の C 上の最小値を ρ {\displaystyle \rho } とする。 | z | < ρ {\displaystyle |z|<\rho } であれば、 z = a + ζ g ( z ) {\displaystyle z=a+\zeta g(z)} を満足する z が D 内でただ1つ定まり、それを z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} と書くと、 z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} は | ζ | < ρ {\displaystyle |\zeta |<\rho } で ζ {\displaystyle \zeta } の正則関数である。このとき、D 内で正則な関数 f(z) に対して、 f ( z ) = f ( a ) + ∑ n = 1 ∞ ζ n n ! ∂ n − 1 ∂ a n − 1 ( g n ( a ) f ′ ( a ) ) , {\displaystyle f(z)=f(a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial a^{n-1}}}(g^{n}(a)f'(a)),} が成立する。 ラグランジュの定理は、逆関数や陰関数を冪級数で求める際に使われる。この定理をケプラーの方程式に適用すると、 E = − ϵ sin M + ϵ 2 2 sin 2 M − ⋯ , {\displaystyle E=-\epsilon \sin M+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\sin 2M-\cdots ,} が得られる。 ϵ {\displaystyle \epsilon } が小さいときに適用可能である。
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