ケプラーの方程式とは? わかりやすく解説

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ケプラー方程式

(ケプラーの方程式 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/11/27 04:58 UTC 版)

ケプラー方程式(ケプラーほうていしき)とは、ケプラー問題[注 1]において離心近点離角 E と平均近点離角 M の関係を記述する次の超越方程式英語版のことである[1][2]

M は惑星の位置、点 N は太陽の位置(惑星の楕円軌道の焦点の1つに相当)、点 A 遠日点をそれぞれ表す。

ケプラーは、1609年に発表した著書「新天文学」の中で、現在ケプラーの法則として知られるもののうち、 第1法則(惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描く)と第2法則(面積速度一定の法則)について述べた[3]。 ただ、ケプラーの時代には微積分学がなかったため、その数学的な表現は幾何学的なものである。 ケプラーによる表現では、


ケプラーの方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/10/18 03:33 UTC 版)

軌道力学」の記事における「ケプラーの方程式」の解説

主に歴史的に使われてきた軌道計算する方法1つは、ケプラーの方程式である。 M = E − ϵ ⋅ sin ⁡ E {\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E} . ここで、Mは平均近点角、Eは離心近点角、 ϵ {\displaystyle \displaystyle \epsilon } は軌道離心率である。 ケプラーの公式では、近点から真近点角 θ {\displaystyle \theta } に至るまでの時間は、2つステップによって求められる真近点角 θ {\displaystyle \theta } から離心近点角 E {\displaystyle E} を求める。 離心近点角 E {\displaystyle E} から時間 t {\displaystyle t} を求める。 逆に与えられた時間離心近点角求めるのはより難しい。ケプラーの方程式は E {\displaystyle E} に対して超越的で、つまり E {\displaystyle E} について代数的に解くことはできない。ただし、反転させて解析関数的に解くことはできる。 全ての実数 ϵ {\displaystyle \textstyle \epsilon } に対して適用できるケプラーの方程式の解は、以下のとおりである。 E = { ∑ n = 1M n 3 n ! lim θ → 0 ( d n1 d θ n − 1 ( θ θ − sin ⁡ ( θ ) 3 n ) ) , ϵ = 1 ∑ n = 1M n n ! lim θ → 0 ( d n1 d θ n − 1 ( θ θ − ϵ ⋅ sin ⁡ ( θ ) n ) ) , ϵ ≠ 1 {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}^{n}\right)\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}} この値を求めることで、次の式が出る。 E = { x + 1 60 x 3 + 1 1400 x 5 + 1 25200 x 7 + 43 17248000 x 9 + 1213 7207200000 x 11 + 151439 12713500800000 x 13 ⋯   |   x = ( 6 M ) 1 3 , ϵ = 1 1 1 − ϵ M − ϵ ( 1 − ϵ ) 4 M 3 3 ! + ( 9 ϵ 2 + ϵ ) ( 1 − ϵ ) 7 M 5 5 ! − ( 225 ϵ 3 + 54 ϵ 2 + ϵ ) ( 1 − ϵ ) 10 M 7 7 ! + ( 11025 ϵ 4 + 4131 ϵ 3 + 243 ϵ 2 + ϵ ) ( 1 − ϵ ) 13 M 9 9 ! ⋯ , ϵ ≠ 1 {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}

※この「ケプラーの方程式」の解説は、「軌道力学」の解説の一部です。
「ケプラーの方程式」を含む「軌道力学」の記事については、「軌道力学」の概要を参照ください。

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