ベッセル関数による展開の方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:16 UTC 版)
「ケプラー方程式」の記事における「ベッセル関数による展開の方法」の解説
もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は ϵ {\displaystyle \epsilon } が大きい場合でも適用可能である。 ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている。 ( M , E ) → ( M + 2 π , E + 2 π ) . {\displaystyle (M,E)\rightarrow (M+2\pi ,E+2\pi ).} また、 E = M − ϵ sin E {\displaystyle E=M-\epsilon \sin E} であるから、これを逐次代入すると ϵ sin E = ϵ sin ( M − ϵ sin E ) = ϵ sin ( M − ϵ sin ( M − ϵ sin E ) ) = ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon \sin E&=\epsilon \sin(M-\epsilon \sin E)\\&=\epsilon \sin(M-\epsilon \sin(M-\epsilon \sin E))\\&=\cdots ,\end{aligned}}} により、 ϵ sin E {\displaystyle \epsilon \sin E} は M の周期関数で、かつ M の奇関数であることがわかる。したがって、 ϵ sin E {\displaystyle \epsilon \sin E} を M によって以下のようにフーリエ展開できる。 ϵ sin E = ∑ n = 1 ∞ A n sin n M . {\displaystyle \epsilon \sin E=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nM.} フーリエ係数 A n はフーリエ展開の一般論により、 A n = 2 π ∫ 0 π d M ϵ sin E sin n M , {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dM\epsilon \sin E\sin nM,} で与えられる。上式の右辺は − 2 n π ∫ d M ϵ sin E d d M cos n M , {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int dM\epsilon \sin E{\frac {d}{dM}}\cos nM,} と変形できるから、部分積分して − 2 n π [ ϵ sin E cos n M ] M = 0 M = π + 2 n π ∫ 0 π d M ϵ d sin E d M ⋅ cos n M {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}\epsilon \sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {\epsilon d\sin E}{dM}}\cdot \cos nM} である。第1項の表面項は消えることと、第2項に元のケプラーの方程式を代入して、 2 n π ( − ∫ 0 π d E cos n M + ∫ 0 π d M cos n M ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\left(-\int _{0}^{\pi }dE\cos nM+\int _{0}^{\pi }dM\cos nM\right),} を得る。上式の第2項はコサイン関数の周期性により消える。第1項に元のケプラーの方程式を代入すると − 2 n π ∫ 0 π d E cos n ( E + ϵ sin E ) , {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dE\cos n(E+\epsilon \sin E),} を得る。ここで、 n 次のベッセル関数の積分表示の1つ J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π d θ cos ( z sin θ − n θ ) , {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\theta \cos(z\sin \theta -n\theta ),} を用いると、 − 2 J n ( − n ϵ ) / n {\displaystyle -2J_{n}(-n\epsilon )/n} に等しいことがわかるので、結局、 E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( − n ϵ ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(-n\epsilon )\sin nM,} が厳密解であることがわかる。 別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。ケプラーの方程式を微分して、 d E d M = 1 1 + ϵ cos E = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n M , a n := 1 π ∫ 0 2 π d M cos n M 1 + ϵ cos E = 1 π ∫ 0 2 π d E cos n ( E + ϵ sin E ) = 2 J n ( − n ϵ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE}{dM}}&={\frac {1}{1+\epsilon \cos E}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nM,\\a_{n}&:={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dM{\frac {\cos nM}{1+\epsilon \cos E}}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dE\cos n(E+\epsilon \sin E)=2J_{n}(-n\epsilon ).\end{aligned}}} ただし、最初の式の2番目の等号では、 E も M も周期関数(周期 2 π {\displaystyle 2\pi } )であることを用いてフーリエ展開した。よって、積分すると、 E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( − n ϵ ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(-n\epsilon )\sin nM,} となって、同じ結果が得られた。
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