ベッセルの不等式とパーセヴァルの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
「ヒルベルト空間」の記事における「ベッセルの不等式とパーセヴァルの公式」の解説
H の有限正規直交系 ƒ1, …, ƒn と H の任意のベクトル x に対して y = ∑ j = 1 n ⟨ x , f j ⟩ f j {\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle f_{j}} と置くと、各 k = 1, …, n に対して ⟨x, ƒk⟩ = ⟨y, ƒk⟩ が成り立つ。故に x − y は各ƒk に直交し、従って x − y は y に直交する。三平方の定理を二度使い ‖ x ‖ 2 = ‖ x − y ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ≥ ‖ y ‖ 2 = ∑ j = 1 n | ⟨ x , f j ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}|\langle x,f_{j}\rangle |^{2}} が得られる。さらに {ƒi} (i ∈ I) を H の任意の正規直交系とするとき、I の任意の有限部分集合 J に対して先ほどの不等式を適用すれば、（非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って）ベッセルの不等式 ∑ i ∈ I | ⟨ x , f i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 , x ∈ H {\displaystyle \sum _{i\in I}|\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H} が得られる。 幾何学的には、ベッセルの不等式が言っているのは、x の fi たちが生成する部分空間の上への直交射影のノルムは x のノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。 ベッセルの不等式はからは、より強力なパーシヴァルの等式が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、H の各元 x は x = ∑ k ∈ B ⟨ x , e k ⟩ e k {\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}} という形に書くことができる。ベッセルの不等式によって B が非可算の場合にも、このような表示が意味を持ち、可算個の例外を除く各項が 0 に等しいことが保証される。このような和を x のフーリエ展開と呼び、個々の係数 ⟨x,ek⟩ を x のフーリエ係数と呼ぶ。このとき、パーセヴァルの等式は ‖ x ‖ 2 = ∑ k ∈ B | ⟨ x , e k ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}} と書ける。逆に、正規直交系 {ek} が任意の x においてパーセヴァルの等式を満足するならば、{ek} は正規直交基底になる。
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