さんへいほう‐の‐ていり〔サンヘイハウ‐〕【三平方の定理】
読み方：さんへいほうのていり
三平方の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/07 01:16 UTC 版)
三平方の定理（さんへいほうのていり）
三平方の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
ヒルベルト空間 H の二つのベクトル u, v が直交するのは、⟨u, v⟩ = 0 のときである。このとき u ⊥ v と書く。更に一般に、H の部分集合 S に対して u ⊥ S と書けば、これは u が S の各元と直交することを意味する。 u と v とが直交するとき、等式 ‖ u + v ‖ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + 2 R e ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 {\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\mathrm {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}} が成り立つ。これは個数 n に関する帰納法で拡張することができて、任意の互いに直交する n 本のベクトルの族u1, …, un に対して ‖ u 1 + ⋯ + u n ‖ 2 = ‖ u 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ u n ‖ 2 {\displaystyle \|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}} が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数（無限和）に対して拡張するには完備性を課さねばならない。互いに直交するベクトルからなる級数 ∑ uk が H において収束するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収束し、かつ ‖ ∑ k = 0 ∞ u k ‖ 2 = ∑ k = 0 ∞ ‖ u k ‖ 2 {\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}} が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。
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