ラグランジュの解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 20:53 UTC 版)
質点の位置を最下点からの弧長 s(t) を媒介変数として表示すると、 運動エネルギーは ·s2 に比例する。ポテンシャルエネルギーは高さ y(s) に比例する。曲線が等時曲線となるのは、ラグランジアンが単純調和振動子のものとなる条件、すなわち、高さが弧長の2乗に等しい時である。長さの単位を比例係数を1となるようにとると y ( s ) = s 2 {\displaystyle y(s)=s^{2}} と書ける。この関係を微分形式で書き下し、媒介変数を消去すると以下を得る。 d y = 2 s d s {\displaystyle \mathrm {d} y=2s\,\mathrm {d} s} d y 2 = 4 s 2 d s 2 = 4 y ( d x 2 + d y 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} y^{2}=4s^{2}\,\mathrm {d} s^{2}=4y\,(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2})} これを解くため、 x を y で積分する。 d x d y = 1 − 4 y 2 y {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} y}={{\sqrt {1-4y}} \over 2{\sqrt {y}}}} x = ∫ 1 − 4 u 2 d u {\displaystyle x=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\,\mathrm {d} u} ここで、 u = y {\displaystyle u={\sqrt {y}}} と置いた。この積分は円よりも下の面積であり、三角形と扇形に切り分けられる。 x = 1 2 u 1 − 4 u 2 + 1 4 arcsin 2 u {\displaystyle x={\frac {1}{2}}u{\sqrt {1-4u^{2}}}+{\frac {1}{4}}\arcsin 2u} y = u 2 {\displaystyle y=u^{2}} これが見慣れない媒介変数表示のサイクロイドであることを示すため、θ = arcsin 2u と置いて代数的に整理すると以下を得る。 8 x = 2 sin θ cos θ + 2 θ = sin 2 θ + 2 θ {\displaystyle 8x=2\sin \theta \cos \theta +2\theta =\sin 2\theta +2\theta } 8 y = 2 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ {\displaystyle 8y=2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta } これは、係数を除いてサイクロイド曲線の通常の媒介変数表示となっている。
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