ラグランジュ力学によるネーターの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:35 UTC 版)
「ネーターの定理」の記事における「ラグランジュ力学によるネーターの定理」の解説
以下ではラグランジュ形式の解析力学で記述される系を考える。q = (q1,...,qn) を一般化座標とし、 L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} を系のラグランジアンとする。作用積分 S [ q ] = ∫ t I t F d t L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle S[q]=\int _{t_{I}}^{t_{F}}dt\,L(q,{\dot {q}},t)} が微小変換 t → t ′ = t + δ t , q i → q ′ i = q i + δ q i {\displaystyle t\to t'=t+\delta t,~q^{i}\to q'^{i}=q^{i}+\delta q^{i}} に対して対称性を持つとする。ここで、この変換は幾つかのパラメータの線型結合で書けるとする。 δ t = ϵ r T r , δ q i = ϵ r Q r i {\displaystyle \delta t=\epsilon _{r}T_{r},\quad \delta q^{i}=\epsilon _{r}Q_{r}^{i}} 但し、重複する添え字記号については、アインシュタインの記法に従い、和をとるものとする。このとき、 X r = ( ∂ L ∂ q ˙ i q ˙ i − L ) T r − ∂ L ∂ q ˙ i Q r i {\displaystyle X_{r}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\dot {q}}^{i}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}Q_{r}^{i}} は保存量 d X r d t = 0 {\displaystyle {\frac {dX_{r}}{dt}}=0} となり、この保存量はポアソン括弧により微小変換 { X r , t } = T r , { X r , q i } = Q r i {\displaystyle \{X_{r},t\}=T_{r},~\{X_{r},q^{i}\}=Q_{r}^{i}} を定める。
※この「ラグランジュ力学によるネーターの定理」の解説は、「ネーターの定理」の解説の一部です。
「ラグランジュ力学によるネーターの定理」を含む「ネーターの定理」の記事については、「ネーターの定理」の概要を参照ください。
- ラグランジュ力学によるネーターの定理のページへのリンク
