ラグランジュ形式による場の理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
「ラグランジュ力学」の記事における「ラグランジュ形式による場の理論」の解説
詳細は「ラグランジアン (場の理論)」を参照 特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである。 力学変数としては場 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} を考える。作用積分はラグランジアン密度 L ( ϕ , ∂ ϕ , x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)} により S [ ϕ ] = 1 c ∫ L ( ϕ , ∂ ϕ , x ) − g d d x {\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x){\sqrt {-g}}\,d^{d}x} で書かれる。その変分は δ S = 1 c ∫ ( ∂ L ∂ ϕ δ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ∂ μ δ ϕ ) − g d d x = 1 c ∫ [ ∂ L ∂ ϕ − 1 − g ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) − g ) ] δ ϕ − g d d x + 1 c ∮ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) δ ϕ − g d Σ μ {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }\delta \phi \right){\sqrt {-g}}\,d^{d}x\\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)\right]\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d^{d}x+{\frac {1}{c}}\oint {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d\varSigma _{\mu }\\\end{aligned}}} となり、ラグランジュの運動方程式として c − g δ S [ ϕ ] δ ϕ ( x ) = ∂ L ∂ ϕ − 1 − g ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) − g ) = 0 {\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[\phi ]}{\delta \phi (x)}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)=0} が得られる。
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