コーシーの平均値の定理

ウィキペディア

コーシーの平均値定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/24 15:44 UTC 版)

下記テーマに関する記事の一部
解析学
基本定理 関数の極限 連続性 平均値の定理
微分法 定義 導関数 (一般化) 微分 無限小 関数の 全 概念 微分の記法 二階導関数 三階導関数 変数変換 陰関数の微分 Related rates テイラーの定理 法則と恒等式 和 積 合成 冪 商 一般ライプニッツ ファー・ディ・ブルーノの公式
積分法 積分一覧 定義 不定積分 積分 (広義) リーマン積分 ルベーグ積分 線積分 複素線積分 道具 部分 Discs 円殻（バウムクーヘン） 置換 三角置換 部分分数 順序 漸化式
級数 幾何 (算術幾何) 調和 交代 冪 二項 テイラー 収束判定法 項の極限（項判定法） 比 冪根 積分 比較 極限比較 交代級数 凝集 ディリクレ アーベル
ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式 定理 発散 勾配 グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列 テンソル 外 幾何学的 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン 確率 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

微分積分学におけるコーシーの平均値定理（コーシーのへいきんちていり、英: Cauchy's mean-value theorem）または拡張平均値定理 (extended mean value theorem) はラグランジュの平均値の定理の一般化である。

定理の主張

定理 (Cauchy)

f, g: [a, b] → R を実数値函数で [a, b] で連続、(a, b) で微分可能とするとき、c ∈ (a, b) が存在して $$[g(b)-g(a)]f'(c)=[f(b)-f(a)]g'(c)$$

コーシーの平均値定理の幾何学的意味

幾何学的にはコーシーの平均値定理は曲線 $${\begin{cases}[a,b]\to \mathbf {R} ^{2}\\[5pt]t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$$

ポータル 数学

• 導函数
• ロルの定理
• 平均値の定理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Cauchy's Mean-Value Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “Extended Mean-Value Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
• extended mean-value theorem - PlanetMath.（英語）
• proof of extended mean-value theorem - PlanetMath.（英語）
• Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], “Cauchy theorem”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

ウィキペディア小見出し辞書

コーシーの平均値の定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 11:16 UTC 版)

「平均値の定理」の記事における「コーシーの平均値の定理」の解説

詳細は「コーシーの平均値定理」を参照 ラグランジュの平均値の定理の拡張として、f(x), g(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数、区間内の各点 x において g' (x) ≠ 0, g(b) − g(a) ≠ 0 であるならば f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) なる c ∈ (a, b) が存在する。これをフランスの数学者コーシーにちなんでコーシーの平均値の定理という。特に g(x) = x である時がラグランジュの平均値の定理である。仮定「区間内の各点 x に対し g' (x) ≠ 0」はもう少し弱めて「区間内の各点 x で f' (x), g' (x) は同時に 0 にならない」としてよい。