コーシーの平均値の定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

コーシーの平均値定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/08 22:16 UTC 版)

定義
導関数 (一般化（英語版）) 微分無限小関数の全
概念
微分の記法二階導関数三階導関数（英語版）変数変換（英語版）陰関数の微分 Related rates（英語版）テイラーの定理
法則と恒等式（英語版）
和（英語版）積合成冪（英語版）商一般ライプニッツファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）

定義
積分一覧
不定積分積分 (広義) リーマン積分ルベーグ積分線積分複素線積分
道具
部分 Discs（英語版）円殻（バウムクーヘン）置換三角置換（英語版）部分分数（英語版）順序（英語版）漸化式（英語版）

収束判定法（英語版）
幾何 (算術幾何) 調和交代冪二項テイラー
項の極限（項判定法）（英語版）比冪根積分比較極限比較（英語版）交代級数（英語版）凝集ディリクレアーベル（英語版）

微分積分学におけるコーシーの平均値定理（コーシーのへいきんちていり、英: Cauchy's mean-value theorem）または拡張平均値定理 (extended mean value theorem) はラグランジュの平均値の定理の一般化である。

定理の主張

定理 (Cauchy): $f, g : [a, b] \to R$ を実数値函数で $[a, b]$ で連続、 $(a, b)$ で微分可能とするとき、 $c \in (a, b)$ が存在して $[g(b)-g(a)]f'(c)=[f(b)-f(a)]g'(c)$

コーシーの平均値の定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 11:16 UTC 版)

「平均値の定理」の記事における「コーシーの平均値の定理」の解説

詳細は「コーシーの平均値定理」を参照ラグランジュの平均値の定理の拡張として、f(x), g(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数、区間内の各点 x において g' (x) ≠ 0, g(b) − g(a) ≠ 0 であるならば f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}} なる c ∈ (a, b) が存在する。これをフランスの数学者コーシーにちなんでコーシーの平均値の定理という。特に g(x) = x である時がラグランジュの平均値の定理である。仮定「区間内の各点 x に対し g' (x) ≠ 0」はもう少し弱めて「区間内の各点 x で f' (x), g' (x) は同時に 0 にならない」としてよい。

※この「コーシーの平均値の定理」の解説は、「平均値の定理」の解説の一部です。
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