∞/∞形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/04 14:39 UTC 版)
L {\displaystyle L} が有限であり、 c {\displaystyle c} が正の無限大、そして f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} が正の無限大に発散するとする。 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} なる任意の ε {\displaystyle \varepsilon } に対してある a {\displaystyle a} が存在し、 x ≥ a ⇒ | f ′ ( x ) g ′ ( x ) − L | < ε / 3 {\displaystyle x\geq a\Rightarrow \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}-L\right|<\varepsilon /3} が成り立つ。この a に対してある b が存在し、 x ≥ b ⇒ g ( x ) > 3 ( | L | + 1 ) ε max { | f ( a ) | , | g ( a ) | } {\displaystyle x\geq b\Rightarrow g(x)>{\frac {3(|L|+1)}{\varepsilon }}\max\{|f(a)|,|g(a)|\}} が成り立つ。このとき x > b {\displaystyle x>b} とするとコーシーの平均値の定理から a < y < x {\displaystyle a<y<x} なるある y が存在して f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = f ′ ( y ) g ′ ( y ) {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(y)}{g'(y)}}} が成り立つから | f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) − L | < ε / 3 {\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}-L\right|<\varepsilon /3} となる。よって x > b {\displaystyle x>b} において | f ( x ) g ( x ) − f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) | = | f ( a ) g ( x ) − g ( a ) g ( x ) ⋅ f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) | = | f ( a ) − g ( a ) L g ( x ) − g ( a ) g ( x ) ( f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) − L ) | < 2 ε / 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\right|&=\left|{\frac {f(a)}{g(x)}}-{\frac {g(a)}{g(x)}}\cdot {\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\right|\\&=\left|{\frac {f(a)-g(a)L}{g(x)}}-{\frac {g(a)}{g(x)}}\left({\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}-L\right)\right|\\&<2\varepsilon /3\end{aligned}}} が成り立つ。従って x > b {\displaystyle x>b} のとき | f ( x ) g ( x ) − L | < ε {\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|<\varepsilon } が成り立つ。
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