コーシーネット・コーシーフィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「コーシーネット・コーシーフィルター」の解説
定理・定義 (コーシーネット) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとし、さらに ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} をX上のネットとする。このとき以下の条件は全て同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって全て）を満たすとき、ネット ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はコーシーネットであるという： 任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ , τ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、 ( x λ , x τ ) ∈ U {\displaystyle (x_{\lambda },x_{\tau })\in U} 任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ∈Λに対し、 x λ ∈ U [ x λ 0 ] {\displaystyle x_{\lambda }\in U[x_{\lambda _{0}}]} 任意のd∈Dと任意のε>0に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ , τ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、 d ( x λ , x τ ) < ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x_{\tau })<\varepsilon } 定理・定義 (コーシーフィルター) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとし、さらに F {\displaystyle {\mathcal {F}}} をX上のフィルターとする。このとき以下の２条件は同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって両方）を満たすとき、フィルター F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はコーシーフィルターであるという： 任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} が存在し、 F × F ⊂ U {\displaystyle F\times F\subset U} 任意のd∈Dと任意のε>0に対し、ある F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} が存在し、 sup x , y ∈ F d ( x , y ) < ε {\displaystyle \sup _{x,y\in F}d(x,y)<\varepsilon }
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