コーシーフィルターとコーシーネット
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:18 UTC 版)
「コーシー列」の記事における「コーシーフィルターとコーシーネット」の解説
距離空間を一般化した空間である一様空間上でもコーシー列に対応するものを以下のように定義できる。 一様空間 X {\displaystyle X} 上のフィルター F {\displaystyle F} がコーシーフィルターであるとは、任意の近縁 U {\displaystyle \mathbf {U} } に対しある F {\displaystyle F} の元 C {\displaystyle C} が存在して C × C ⊆ U {\displaystyle C\times C\subseteq \mathbf {U} } となることをいう。 一様空間 X {\displaystyle X} 上の有向点列（ネット） { x λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{x_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} がコーシーネットであるとは、任意の近縁 U {\displaystyle \mathbf {U} } に対し ある Λ {\displaystyle \Lambda } の元 λ {\displaystyle \lambda } が存在して、任意の μ , ν ≥ λ {\displaystyle \mu ,\nu \geq \lambda } に対し ( μ , ν ) ∈ U {\displaystyle (\mu ,\nu )\in \mathbf {U} } となることをいう。 コーシーフィルターとコーシーネットは本質的に同じ概念である。
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