コーシーの積分公式を使う
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 22:43 UTC 版)
「複素線積分」の記事における「コーシーの積分公式を使う」の解説
次に注意： ∮ C f ( z ) d z = ∫ − a a f ( z ) d z + ∫ Arc f ( z ) d z {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz} したがって ∫ − a a f ( z ) d z = ∮ C f ( z ) d z − ∫ Arc f ( z ) d z . {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz.} さらに次が成り立つ： f ( z ) = 1 ( z 2 + 1 ) 2 = 1 ( z + i ) 2 ( z − i ) 2 . {\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.} 閉曲線の囲む領域内に二位の極 i があるため、コーシーの積分公式を用いて、 ∮ C f ( z ) d z = 2 π i d d z ( 1 ( z + i ) 2 ) | z = i = 2 π i ( − 2 ( z + i ) 3 ) | z = i = π 2 . {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left({1 \over (z+i)^{2}}\right){\Bigg |}_{z=i}=2\pi i\left({\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right){\Bigg |}_{z=i}={\frac {\pi }{2}}.} 半円の弧を Arc と呼ぶことにすれば、Arc 上の積分が R → ∞ のとき 0 に収束することを示す必要がある。estimation lemma（英語版） を用いて | ∫ Arc f ( z ) d z | ≤ M L {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML} ただし M は Arc 上の |f(z)| の上界であり、L は Arc の長さである。今 | ∫ Arc f ( z ) d z | ≤ R π ( R 2 − 1 ) 2 → 0 ( R → ∞ ) {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {R\pi }{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0\quad (R\to \infty )} である。したがって ∫ − ∞ ∞ 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x = ∫ − ∞ ∞ f ( z ) d z = lim a → + ∞ ∫ − a a f ( z ) d z = π 2 . ◻ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }
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