積分判定法とは? わかりやすく解説

積分判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/02/28 22:26 UTC 版)

積分判定法の調和級数への適用。区間 x[1, ∞) での曲線 y = 1/x の下側部分の面積は無限大だから、長方形の面積の総和も無限大でなければならない。

数学において、積分判定法(せきぶんはんていほう、: integral test for convergence)は非負項無限級数収束性を判定する方法の一つである。コリン・マクローリンオーギュスタン=ルイ・コーシーによって発展させられたことから、マクローリン・コーシーの判定法の呼称でも知られている。

判定方法

整数 N と、非有界区間 [N, ∞) で定義された単調非増加な実数値関数 f を考える。このとき無限級数

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積分判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/08/06 09:58 UTC 版)

調和級数」の記事における「積分判定法」の解説

調和級数発散をある広義積分との比較によって示すこともできる。これには、調和級数の各項に対応する面積をもつ可算無限個の長方形集まり考える。n 番目の項に対応する長方形は、横幅 1、高さ 1/n を持つものとする。これらの長方形面積合計調和級数 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots } の値に一致する一方曲線 y = 1/x考え、x∈ [1, ∞) の部分の下にある面積広義積分 ∫ 1 ∞ d x x = ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\infty } である。この面積は先ほど長方形たちによって完全に覆われるから、長方形面積合計同様に無限大となる。もっといえば、 ∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 d x x = ln ⁡ ( k + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(k+1)} が示されということになる。このような手法一般に積分判定法という。

※この「積分判定法」の解説は、「調和級数」の解説の一部です。
「積分判定法」を含む「調和級数」の記事については、「調和級数」の概要を参照ください。

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