有限和の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 23:24 UTC 版)
有限個の事象に関するブールの不等式は、帰納法を使って証明することができる。 n = 1 {\displaystyle n=1} の場合について当然 P ( A 1 ) ≤ P ( A 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})} ということになる。 n {\displaystyle n} の場合に P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})} であると仮定する。 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)} であり、和集合演算は結合則を満たすため、 P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) = P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 ) − P ( ⋃ i = 1 n A i ∩ A n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)} を得る。 そして、確率の第一公理によって、 P ( ⋃ i = 1 n A i ∩ A n + 1 ) ≥ 0 {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0} であるため、 P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) ≤ P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})} を得て、したがって P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) + P ( A n + 1 ) = ∑ i = 1 n + 1 P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i})} を得る。
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有限和の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/23 03:44 UTC 版)
有限和の場合にも同様の議論で和を積分で近似することができる。つまり、自然数 M<N と区間 [M,N ]で定義された単調(単調増加でもよい)なRiemann可積分関数 f に対して min { f ( M ) , f ( N ) } ≤ ∑ n = M N f ( n ) − ∫ M N f ( x ) d x ≤ max { f ( M ) , f ( N ) } {\displaystyle \min\{f(M),f(N)\}\leq \sum _{n=M}^{N}f(n)-\int _{M}^{N}f(x)dx\leq \max\{f(M),f(N)\}} が成立する。
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