積の分配法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 07:17 UTC 版)
二つの絶対収束する実または複素級数の積もまた絶対収束する。すなわち二つの収束する級数 ∑ n = 0 ∞ a n = A , ∑ n = 0 ∞ b n = B {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A,\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B} がともに絶対収束するならば、級数 ∑ n ∈ N a n ∑ m ∈ N b m = ∑ m ∈ N b m ∑ n ∈ N a n = ∑ ( m , n ) ∈ N × N a n b m {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\sum _{m\in \mathbb {N} }b_{m}=\sum _{m\in \mathbb {N} }b_{m}\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=\sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }^{}a_{n}b_{m}} は無条件収束、したがって絶対収束し、その値は AB に等しい。これは、絶対収束する級数同士の積においては、有限和の場合と同様に積と和の分配法則が成り立つことを意味する。絶対収束級数は無条件収束、すなわち和の順序も自由に交換できるから、絶対収束する級数はおおむね有限和に近い性質を持つといえる。
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