複素級数とは? わかりやすく解説

複素級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/31 07:00 UTC 版)

メルカトル級数」の記事における「複素級数」の解説

複素冪級数n = 1z n n = z + z 2 2 + z 3 3 + z 4 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots } は log複素対数主値とした際の − log ⁡ ( 1 − z ) {\displaystyle -\log(1-z)} に対すテイラー級数である。この級数は | z | ≤ 1 , z ≠ 1 {\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1} を満たす全ての複素数に対して収束する実際ダランベールの収束判定法から、収束半径が1に等しいと分かるから、半径 r < 1 の全ての円板 B(0, r) 上で絶対収束する。更に、欠けた円板(nibbled disk) B ( 0 , 1 ) ¯ ∖ B ( 1 , δ ) {\displaystyle \scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )} (δ > 0)上で一様収束する。このことは右辺が閉単位円板全体一様収束することに注目すれば、代数恒等式 ( 1 − z ) ∑ n = 1 m z n n = z − ∑ n = 2 m z n n ( n − 1 ) − z m + 1 m {\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}}} から一度導かれる

※この「複素級数」の解説は、「メルカトル級数」の解説の一部です。
「複素級数」を含む「メルカトル級数」の記事については、「メルカトル級数」の概要を参照ください。

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