複素空間の点でのブローアップ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/24 06:20 UTC 版)
「ブローアップ (数学)」の記事における「複素空間の点でのブローアップ」の解説
Z をn 次元複素 空間Cnの原点とする。つまり、Z をn 個の座標関数 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} が同時に消えている点とする。Pn − 1を(n − 1)次元複素射影空間とし、その斉次座標を y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}} で表すことにする。 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} をCn × Pn − 1の部分集合ですべてのi, j = 1, ..., nに対して方程式 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} を同時に満たすもの全体とする。射影 π : C n × P n − 1 → C n {\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}} は自然に正則写像 π : C n ~ → C n {\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}} を誘導する。この写像 π をCnのブローアップ（blow-up; 英語では blow up, blowup などとも綴られる）と呼ぶ。空間 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} もブローアップと呼ばれることが多い。 例外因子 E はπ によるブローアップの中心Zの逆像として定義される。簡単にわかるように E = Z × P n − 1 ⊆ C n × P n − 1 {\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}} は射影空間のコピーになっている。これは有効因子である。Eの外では、π は C n ~ ∖ E {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E} とCn ∖ Zの間の同型写像になっている。したがってこれは C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} とCnの間の双有理写像になっている。 代わりに正則な射影 q : C n ~ → P n − 1 {\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}} を考える。これは P n − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}} のトートロジー的直線束（英語版）と呼ばれるものになっており、例外因子 { Z } × P n − 1 {\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}} はこれの零切断、つまり点 p {\displaystyle p} を p {\displaystyle p} 上のファイバーにおける零元 0 p {\displaystyle \mathbf {0} _{p}} に送る写像 0 : P n − 1 → O P n − 1 {\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}} と同一視できる。
※この「複素空間の点でのブローアップ」の解説は、「ブローアップ (数学)」の解説の一部です。
「複素空間の点でのブローアップ」を含む「ブローアップ (数学)」の記事については、「ブローアップ (数学)」の概要を参照ください。
- 複素空間の点でのブローアップのページへのリンク
