射影空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/12 19:13 UTC 版)
射影空間（しゃえいくうかん、英: projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1) 個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。
定義
K を体とする。K 上の n 次元の射影空間 KPn は、(n + 1) 個の K の要素の比 [x0 : x1 : ⋯ : xn] の全体の集合として定義される。すなわち、ベクトル空間 V = Kn+1 の 0 でないベクトルに対して、同値関係 (a0, a1, ..., an) ∼ (b0, b1, ..., bn) を、0 でない K の元 t が存在して任意の i = 0, 1, ..., n に対して bi = tai であることとして定義するとき、
複素射影空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 22:27 UTC 版)
層の完全系列 0 → O C P n → O C P n ( 1 ) ⊕ ( n + 1 ) → T C P n → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} P^{n}\to 0} が存在する。ここに O C P n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}} は構造層（つまり自明ベクトル束）であり、 O C P n ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)} はセールのツイスト層（英語版）(Serre's twisting sheaf)（つまり、超平面バンドル（英語版）(hyperplane bundle)である。 全チャーン類 c = 1 + c1 + c2 + … の加法性（つまり、ホイットニーの和公式） c ( C P n ) = d e f c ( T C P n ) = c ( O C P n ( 1 ) ) n + 1 = ( 1 + a ) n + 1 {\displaystyle c(\mathbb {C} P^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} P^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}} , が成り立つ。ここに a はコホモロジー群 H 2 ( C P n , Z ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {Z} )} の標準的生成子（つまり、E* を E の双対としたとき、 c 1 ( E ∗ ) = − c 1 ( E ) {\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)} であることに注意して、トートロジー線束 O C P n ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(-1)} の第一チャーン類の負の部分である）。 特に、任意の k ≥ 0 に対し、 c k ( C P n ) = ( n + 1 k ) a k {\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} P^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}} となる。
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