積分との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/13 05:57 UTC 版)
「コーシーの凝集判定法」の記事における「積分との比較」の解説
「凝集」変換 f ( n ) → 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})} は積分での変数変換 x → e x {\displaystyle \textstyle x\rightarrow e^{x}} が f ( x ) d x → e x f ( e x ) d x {\displaystyle \textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x} を引き起こすことを連想させる。 実際、積分判定法により単調関数 f に対しては級数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)} の収束と広義積分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} の収束は同値である。変数変換 x → 2 x {\displaystyle \textstyle x\rightarrow 2^{x}} によって積分は log 2 ∫ 0 ∞ 2 x f ( 2 x ) d x {\displaystyle \displaystyle \log 2\,\int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x} と書き直せるが、この収束は級数 ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} の収束と同値になる。
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