幾何学的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/21 09:31 UTC 版)
これを以下のように幾何学的に解釈することができる（これはエドワード・ウィッテンによるものである）。スピンc-構造は 0 でないとき、この平方根束は非整係数チャーン類を持つ（これは2-コサイクル条件（英語版）が成り立たないことを意味する）。特に、三種類ある任意の二つの交叉上の遷移函数の積は（主束となるのに必要な条件であるところの）恒等的に 1 にならず、ところどころ −1 となる。 この条件の不成立は、遷移函数の三重積に関して同じ条件の不成立によってスピン束（英語版）となることが妨げられるのと、ちょうど同じ交叉において起きる。従って、完全 (full) スピンc-束の遷移函数の三重積（これは、スピン束の三重積と U(1)-成分束の三重積との積である）は、12 = 1 か −12 = 1の何れかであり、それゆえこのスピンc-束はコサイクル条件を満たして、正当な束となる。
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幾何学的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:15 UTC 版)
「ラグランジュの未定乗数法」の記事における「幾何学的な説明」の解説
簡単のため2次元の場合を考えよう。g (x,y ) = c（ここで c は与えられた定数である）という条件のもと、関数 f (x,y ) を最大化するものとしよう。f の値を高さとしたグラフを考えると、高さが d の f の等高線は f (x,y ) = d で与えられる。ここで、任意の曲線に沿って移動する点を考えると、この点が等高線を横切る場合、必ず f (x,y ) は増加、もしくは減少するが、この点が等高線に沿って移動する場合は f (x,y ) は変化しないことが分かる。この条件と通常の極値の条件を合わせて考えれば、曲線上で f (x,y ) が最大をとる点では、f の等高線の接線と曲線の接線が平行となっているか、f の勾配がゼロとなっていることが分かる。ここで g (x,y ) = c の接線は、g の勾配ベクトル ∇x, y g と直交し、また f の等高線 f (x,y ) = d の接線は f の勾配ベクトル ∇x, y f と直交することをふまえると、前述の条件は ∇ x , y f = λ ∇ x , y g {\displaystyle \nabla _{x,y}f=\lambda \nabla _{x,y}g} と書ける。ここで ∇ x , y f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) , ∇ x , y g = ( ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y ) {\displaystyle \nabla _{x,y}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\qquad \nabla _{x,y}g=\left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)} である。定数 λ は f の勾配ベクトルと g の勾配ベクトルが平行ではあるが長さが一般に異なるために必要である。λ = 0 の場合、f (x,y ) の勾配がゼロとなる条件になる。これは g (x,y ) = c の曲線上にちょうど f の最大値があるため、曲線上で f (x,y ) が最大を取る点と通常の f (x,y ) の最大値が一致するケースである。 前述の式を変形すると ∇ x , y ( f − λ g ) = 0 {\displaystyle \nabla _{x,y}(f-\lambda g)=0} となることから、f - λ g の極値を求めればいいことになる。
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