幾何学的フロベニウス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「幾何学的フロベニウス」の解説
S の絶対フロベニウス写像が F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} を持ち可逆であるとする。 S F − 1 {\displaystyle S_{F^{-1}}} を S-スキーム F S − 1 : S → S {\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S} と書くと、 F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} により X の拡張スカラーが存在する。 X ( 1 / p ) = X × S S F − 1 . {\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.} もし、 R = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})} であれば、 F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} による拡張は R ( 1 / p ) = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) ⊗ A A F − 1 . {\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.} を与える。もし、 f j = ∑ β f j β X β , {\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },} であれば f j ( 1 / p ) = ∑ β f j β 1 / p X β , {\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },} と書くことができ、従って、同型 R ( 1 / p ) ≅ A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 ( 1 / p ) , … , f m ( 1 / p ) ) {\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)})} が存在する。 S-スキーム X の幾何学的フロベニウス写像(geometric Frobenius morphism)は、射 F X / S g : X ( 1 / p ) → X × S S ≅ X {\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X} であり、 F X / S g = 1 X × F S − 1 {\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}} で定義される。これは 1X による F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} のベースチェインジである。 上の A と R の例につづいて、幾何学的フロベニウスは ∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i ↦ ∑ i ∑ α a i α b i 1 / p X α {\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }} であると定義される。 { f j ( 1 / p ) } {\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}} の項で R(1/p) を書き換えた後、幾何学的フロベニウスは ∑ a α X α ↦ ∑ a α 1 / p X α {\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }} となる。
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