数論的フロベニウス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「数論的フロベニウス」の解説
数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス（英語版）(Arithmetic and geometric Frobenius)も参照 S-スキーム X の数論的フロベニウス写像(arithmetic Frobenius morphism)は、 F X / S a = 1 X × F S {\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}} により定義される同型 F X / S a : X ( p ) → X × S S ≅ X {\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X} である。すなわち、1X による FS のベースチェインジである。 繰り返すと、 R = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) , {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),} R ( p ) = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) ⊗ A A F , {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},} であれば、数論的フロベニウスは準同型 ∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i ↦ ∑ i ∑ α a i α b i p X α {\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }} である。R(p) を R ( p ) = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 ( p ) , … , f m ( p ) ) {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right)} のように置きなおすと、この準同型は ∑ a α X α ↦ ∑ a α p X α {\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }} となる。
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