数論における階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 10:24 UTC 版)
階乗は数論にも多くの応用を持つ。特に n ! は n 以下の全ての素数で整除されねばならない。このことの帰結として、n ≥ 5 が合成数となる必要十分条件は ( n − 1 ) ! ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}} が満たされることである。より強い結果としてウィルソンの定理は ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}} が p が素数であるための必要十分条件であることを述べる。 ルジャンドルの公式は n ! の素因数分解に現れる p の重複度が ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor } であることを示す。これは n − s p ( n ) p − 1 {\displaystyle {\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}} と書いてもよい。ただし、sp(n) は n の p 進展開の係数の和である。 n ! が素数となる n は 2 のみである。n! ± 1 の形の素数は階乗素数と呼ばれる。 1! より大きな階乗は全て偶数である（これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である）。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数（2 と 5 を因数に持つ）であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ（英語版）。
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