数論的性質とは? わかりやすく解説

数論的性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)

代数的数」の記事における「数論的性質」の解説

α を無理数とする。任意の正数 ε に対して、ある正定c = c(ε)存在して、 | α − p q | > 1 q μ + ε {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}} が q > c を満たす全ての有理数 p/q に対して成立するような、μ の下限 μ(α) を、α の無理数度 (measure of irrationality for α) という。もし、このような数が存在しない場合、 μ ( α ) = ∞ {\displaystyle \mu (\alpha )=\infty } とする。つまり、無理数度は、α を有理数近似したとき、どのくらい精度近似できるかの指標与える。たとえば任意の有理数無理数度は 1 になる。 フルヴィッツは、1891年に以下のことを証明した。(フルヴィッツの定理任意の無理数に対して、 | α − p q | < 1 5 q 2 {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}} を満たす既約分数 p/q が無限に多く存在するまた、上記定数 1 / 5 {\displaystyle 1/{\sqrt {5}}} は最良であり、より小さな正数置き換えることはできない。つまり、全ての無理数に対して無理数度は、2 以上である。 リウヴィルは、1844 年、α が n 次の代数的数実数である代数的数)のとき、μ(α) ≤ n であることを証明し、このことから、リウヴィルは超越数存在することを初め証明した。 実代数的数対する μ(α) の評価は、その後、トゥエ (A. Thue)、ジーゲル、ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、ダイソンらにより改良され最終的に ロスにより、μ(α) = 2 であることが証明された(ディオファントス近似参照)。この功績によりロス1958 年フィールズ賞受賞した上記のことから、無理数度が 2 よりも大き実数超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。 ほとんど全ての実数に対して無理数度は 2 であることが知られているが、無理数度分かっていない数がほとんどである。たとえば、円周率 π の無理数度が 2 であるかは不明である。現状、8.0161 以下であることが証明されているにすぎない(畑 1992年)。

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数論的性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/26 04:58 UTC 版)

モジュラー群」の記事における「数論的性質」の解説

( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} の行列式が1であるということは分数 a/b, a/c, c/d, b/d がすべて既約であること、つまり、共通因子持たないこと(もちろん分母が 0 ではないという条件で)を意味する。もっと一般的には、p/q が既約分数であればa p + b q c p + d q {\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}} も既約となる(繰り返すが、分母は 0 ではないという条件で)。既約分数任意のペアは、このように関連つけることができる。つまり、任意の既約分数ペア p/q と r/s に対してr = a p + b q {\displaystyle r=ap+bq} と s = c p + d q {\displaystyle s=cp+dq} となるような ( a b c d ) ∈ SL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {Z} )} が存在するモジュラー群の元は、2次元周期格子上の対称性もたらす。 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} と ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} を 2つ比率実数ないよう2つ複素数とすると、点の集合 Λ ( ω 1 , ω 2 ) = { m ω 1 + n ω 2 : m , n ∈ Z } {\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbf {Z} \}} は、平面上の平行四辺形格子となる。異なベクトルペア α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} と α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} が全く同じ格子生成することと、 SL ⁡ ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {Z} )} の行列用いて ( α 1 α 2 ) = ( a b c d ) ( ω 1 ω 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}} と書けることは等価である。このため楕円函数のような二重周期函数英語版)(doubly periodic function)は、モジュラー群対称性を持つ。 有理数対すモジュラー群作用は、格子点 (p, q) が分数 p/q を表している正方格子として可視化すると、最も容易に理解することができる(ユークリッドオーチャード英語版)(Euclid's orchard)を参照のこと)。この格子においては既約分数原点から見ることのできる点である。分数上のモジュラー群作用は、見ることのできる点を見ることができない既約な)点へ変換することは決してないし、逆も成り立つ。 p n1 / q n − 1 {\displaystyle p_{n-1}/q_{n-1}} と p n / q n {\displaystyle p_{n}/q_{n}} が 連続した2つ連分数近似分数あれば、行列 ( p n1 p n q n − 1 q n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}} は GL(2, Z) に属する。特に、a < b かつ c < d である正の整数 a, b, c, d に対しbcad = 1 であれば、a/b と c/d は max(b, d) に対応するファレイ数列において隣接する連分数近似分数特別に重要な例として、フィボナッチ数列ペル方程式の解がある。どちらの場合も、モジュラー群半群形成するように数列並べることができる。

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