オイラー積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/27 01:32 UTC 版)
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オイラー積（オイラーせき、英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。
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オイラー積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} を係数とするディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} を、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の(ディリクレ級数で表された)母関数という。 数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の数論的性質が母関数の性質から導かれることがしばしばあり、母関数は、数学の対象として大変重要なものである。(母関数も参照のこと) 特に、乗法的関数である数論的関数に対して、母関数をディリクレ級数の形で表すことが多い。それは、母関数が以下で述べるオイラー積表示を持つからである。 a ( n ) {\displaystyle a(n)} を乗法的関数である数論的関数としたとき、 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} は、以下の積表示を持つ。 f ( s ) = ∏ p ; prime ( 1 + a ( p ) p s + a ( p 2 ) p 2 s + ⋯ ) {\displaystyle f(s)=\!\!\prod _{p;\operatorname {prime} }\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\cdots \right)} 。 この積をオイラー積 (Euler product)という。 逆に、ある数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の母関数がオイラー積表示を持つならば、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} は乗法的関数である。 さらに、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} が完全乗法的関数であれば、オイラー積は f ( s ) = ∏ p ; prime 1 1 − a ( p ) / p s {\displaystyle f(s)=\!\!\prod _{p;\operatorname {prime} }{\frac {1}{1-a(p)/p^{s}}}} と表される。
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