ラマヌジャンの τ 関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 23:35 UTC 版)
「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」の記事における「ラマヌジャンの τ 関数」の解説
ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。 Δ = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) 24 = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) x n {\displaystyle \Delta =x\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}} 彼は x のべきの係数 τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) n − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}} を考えて、そのオイラー積表示 ∏ p 1 1 − τ ( p ) p − s + p 11 − 2 s {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}}} を与えた（正確には、「証明」していないが）。このオイラー積には p−2s という p−s の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「2次のゼータ」の発見）。
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