セルバーグクラスとは - わかりやすく解説 Weblio辞書

セルバーグクラス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/14 08:50 UTC 版)

数学におけるセルバーグクラス（Selberg class）とは、L-函数のクラスの公理的定義である。セルバーグクラスの元は、ディリクレ級数であり、L-函数、あるいはゼータ函数と共通に呼ばれる函数によって満たされる 4つの公理に従う。この 4つの公理は、これらの函数の本質的な性質を捉えていると思われる。このクラスの完全な性質は未だ予想にすぎないが、定義は保型形式やリーマン予想との関係に対して見方を与え、これらの分類と性質の説明を与えるのではないかと期待されている。このクラスは、アトル・セルバーグ (Atle Selberg) により (Selberg 1992) で定義された。

脚注

^ Conrey & Ghosh 1993, §1
^ Lapidus, Michel Laurent (2008). In Search of the Riemann Zeros: Strings, Fractal Membranes and Noncommutative Spacetimes. American Mathematical Society. p. 389. ISBN 0821842226. Zbl 1150.11003
^ Murty 2008
^ Murty 1994
^ 境界上にあるゼロ点は半分の重複度を数えるとする。
^ ω_i は、F により一意に定義されるとは限らないが、セルバーグの結果は、この和がwell-definedであることを示している。
^ Murty 1994, Lemma 4.2
^ デデキントの卓越した予想を立てた． $\mathbb {Q}$ の任意の代数拡大 $F$ に対し、ゼータ函数 $\zeta _{F}(s)$ はリーマンのゼータ函数 $\zeta (s)$ で割ることができる。つまり、商 $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ は整函数となる。さらに一般的に、デデキント予想は、 $K$ が $F$ の有限拡大であれば、 $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ は整函数になるであろうという予想である。この予想は未だ解決されていない。
^ Murty 1994, Theorem 4.3
^ Conrey & Ghosh 1993, § 4